Dados A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 5 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\\\ 4 & 1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\\\ 1 & -2\end{array}\right], calcule a matriz X, de modo que:
X-2 A=B

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\[4pt] 5 & -1\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\[4pt] 4 & 1\end{array}\right],\quad C=\left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\[4pt] 1 & -2\end{array}\right]
e pede para calcular a matriz X que satisfaz a igualdade
X-2A=B.
Aqui estão listadas as informações relevantes: as três matrizes A, B e C (note que C está no enunciado, mas a equação dada envolve apenas A e B); e a equação que relaciona X com A e B. A pergunta é: determine X.]

Passo 2

Isolamos X na equação \,X-2A=B\,. Para isso somamos \,2A\, em ambos os lados da igualdade. Algebricamente:
X-2A+2A = B+2A \quad\Rightarrow\quad X = B+2A.
Explicação rápida: somar a mesma matriz em ambos os lados preserva a igualdade; a operação cancelou o -2A do lado esquerdo.

Passo 3

Agora calculamos \,2A. Multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada pelo escalar, isto é, se A=(a_{ij}) então 2A=(2a_{ij}). Aplicando a cada entrada de A:
2A = 2\cdot\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\[4pt] 5 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2\cdot 1 & 2\cdot 3 \\[4pt] 2\cdot 5 & 2\cdot(-1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 6 \\[4pt] 10 & -2\end{array}\right].]

Passo 4

Agora somamos \,B e \,2A. A adição de matrizes é feita entrada a entrada: se B=(b_{ij}) e 2A=(c_{ij}) então B+2A=(b_{ij}+c_{ij}). Escrevendo os operandos:
B=\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\[4pt] 4 & 1\end{array}\right],\qquad 2A=\left[\begin{array}{cc}2 & 6 \\[4pt] 10 & -2\end{array}\right].
Somando entrada a entrada:
X = B+2A = \left[\begin{array}{cc}3+2 & -2+6 \\[4pt] 4+10 & 1+(-2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & 4 \\[4pt] 14 & -1\end{array}\right].]

Passo 5

Vamos verificar rapidamente que a solução está correta: calcule \,X-2A\, usando o X encontrado e o 2A do Passo 3.
X-2A = \left[\begin{array}{cc}5 & 4 \\[4pt] 14 & -1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}2 & 6 \\[4pt] 10 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5-2 & 4-6 \\[4pt] 14-10 & -1-(-2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\[4pt] 4 & 1\end{array}\right],
que é exatamente B. Portanto X está correta.]

Resposta

X=\left[\begin{array}{cc}5 & 4 \\[4pt] 14 & -1\end{array}\right]]

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