Dados A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 5 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\\\ 4 & 1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\\\ 1 & -2\end{array}\right], calcule a matriz X, de modo que:
2 X-A=3 B-C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\[4pt] 5 & -1\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\[4pt] 4 & 1\end{array}\right],\qquad C=\left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\[4pt] 1 & -2\end{array}\right]
e pede para calcular a matriz X que satisfaz a equação
2X - A = 3B - C.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,A, \,B e \,C são matrizes 2\times2 (mesma ordem), e a incógnita é a matriz X também de ordem 2\times2. A operação envolve multiplicação por escalar, soma e subtração de matrizes.]

Passo 2

Isolando X por operações algébricas elementares: somamos A aos dois lados e em seguida dividimos por 2. Mais rigoro­samente, começamos com
2X - A = 3B - C.
Somando A em ambos os lados obtemos
2X = A + 3B - C.
Agora multiplicamos ambos os lados por \frac{1}{2} (ou seja, dividimos por 2) para obter
X = \frac{1}{2}\bigl(A + 3B - C\bigr).
Explicação didática: podemos somar e subtrair matrizes apenas quando elas têm a mesma dimensão; aqui todas são 2\times2, então as operações são válidas. A multiplicação por escalar \alpha em uma matriz M significa multiplicar cada entrada de M por \alpha.

Passo 3

Calculamos 3B multiplicando cada entrada de B por 3. Usando B dado:
3B = 3\cdot\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\[4pt] 4 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3\cdot 3 & 3\cdot(-2) \\[4pt] 3\cdot 4 & 3\cdot 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}9 & -6 \\[4pt] 12 & 3\end{array}\right].]

Passo 4

Somamos A e 3B entrada a entrada:
A + 3B = \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\[4pt] 5 & -1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}9 & -6 \\[4pt] 12 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1+9 & 3+(-6) \\[4pt] 5+12 & -1+3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}10 & -3 \\[4pt] 17 & 2\end{array}\right].
Observação: aqui eu usei os valores de A e de 3B obtidos anteriormente.]

Passo 5

Subtraímos C de A+3B (novamente entrada a entrada). Usando C dado na imagem/enunciado:
A + 3B - C = \left[\begin{array}{cc}10 & -3 \\[4pt] 17 & 2\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\[4pt] 1 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}10-0 & -3-(-3) \\[4pt] 17-1 & 2-(-2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}10 & 0 \\[4pt] 16 & 4\end{array}\right].]

Passo 6

Multiplicamos por \frac{1}{2} para obter X:
X = \frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}10 & 0 \\[4pt] 16 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\dfrac{10}{2} & \dfrac{0}{2} \\[8pt] \dfrac{16}{2} & \dfrac{4}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 & 0 \\[4pt] 8 & 2\end{array}\right].
Explicação: multiplicar por \frac{1}{2} é dividir cada entrada por 2.]

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar!): calculamos os dois lados da equação original com X encontrado.
Primeiro 2X - A:
2X = 2\cdot\left[\begin{array}{cc}5 & 0 \\[4pt] 8 & 2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}10 & 0 \\[4pt] 16 & 4\end{array}\right],
2X - A = \left[\begin{array}{cc}10 & 0 \\[4pt] 16 & 4\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\[4pt] 5 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}9 & -3 \\[4pt] 11 & 5\end{array}\right].
Agora 3B - C (já calculado parcialmente antes, recalculando para checar):
3B - C = \left[\begin{array}{cc}9 & -6 \\[4pt] 12 & 3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\[4pt] 1 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}9 & -3 \\[4pt] 11 & 5\end{array}\right].
Como 2X - A = 3B - C, a solução está confirmada.]

Resposta

X=\left[\begin{array}{cc}5 & 0 \\[4pt] 8 & 2\end{array}\right]]

Exercícios relacionados