Determine a solução geral da equação diferencial (1+x^2) y^prime+4 x y=0;

Passo 1

A gente tem a EDO (1+x^2)y'+4xy=0. É uma equação de primeira ordem, linear e também separável. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem e o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, divide tudo por (1+x^2) para isolar y' e colocar na forma padrão de EDO linear:
y' + 4x1+x^2,y = 0
Como ela é separável, a gente agrupa termos com y de um lado e com x do outro, ficando:
dyy = -4x1+x^2,dx

Passo 3

Agora integra os dois lados. De um lado temos integral1y,dy=ln|y|. Do outro:
integral -4x1+x^2,dx = -4 integral x1+x^2,dx
Usando a substituição u=1+x^2, du=2x,dx, a integral vira
-4 cdot 12 ln(1+x^2) = -2ln(1+x^2)
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Passo 4

Unindo os resultados:
ln|y| = -2ln(1+x^2) + C
Por fim, exponenciando ambos os lados e definindo C1=e^C, obtemos a solução geral:
y = C1,(1+x^2)^-2

Resposta

y = C,(1+x^2)^-2, com C constante arbitrária.

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