Considere uma equação diferencial do tipo y^prime+p(x) y=q(x) y^n, n neq 1 e n neq 0, dita de Bernoulli, com p e q funções contínuas nalgum intervalo I subseteq R.
2. Em cada uma das seguintes alíneas, verifique que a equação é do tipo referido na alínea anterior. Determine a solução geral fazendo a mudança de variável indicada:
© y^prime=[(1-2 t) y^4-y] / 3;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y' = l[(1-2t)y^4 - yr]/3, mostrando que ela é do tipo de Bernoulli com n=4 e usando a mudança de variável z = y^1-n. Vamos precisar das fórmulas: forma padrão y' + p(t)y = q(t)y^n e a transformação z = y^1-n que leva a uma EDO linear em z.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no formato de Bernoulli. Escrevendo
$$
y

Passo 3

Aplicamos a mudança de variável z = y^1-n = y^-3. Pela teoria, essa transformação leva a
z' + (1-n)p(t),z = (1-n)q(t)

Passo 4

Substituindo n=4, p(t)=tfrac13 e q(t)=tfrac1-2t3 obtemos
$$
z

Passo 5

Agora resolvemos a EDO linear z' - z = 2t - 1. O fator integrante é e^-integral1,dt = e^-t. Multiplicando ambos os lados por e^-t e integrando:
ddtl(e^-tzr) = e^-t(2t-1)

Passo 6

Fazendo a integral de e^-t(2t-1) por partes, chega-se a
e^-tz = -(2t+1)e^-t + C
e, multiplicando por e^t,
z = Ce^t - 2t - 1

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original: y^-3 = Ce^t - 2t - 1, de onde
y(t) = l(Ce^t - 2t - 1r)^-1/3

Resposta

y(t) = \bigl(Ce^t - 2t - 1\bigr)^{-1/3}

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