Considere uma equação diferencial do tipo
e
, dita de Bernoulli, com
e
funções contínuas nalgum intervalo
.
2. Em cada uma das seguintes alíneas, verifique que a equação é do tipo referido na alínea anterior. Determine a solução geral fazendo a mudança de variável indicada:
©
;
2. Em cada uma das seguintes alíneas, verifique que a equação é do tipo referido na alínea anterior. Determine a solução geral fazendo a mudança de variável indicada:
©
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
, mostrando que ela é do tipo de Bernoulli com
e usando a mudança de variável
. Vamos precisar das fórmulas: forma padrão
e a transformação
que leva a uma EDO linear em
.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação no formato de Bernoulli. Escrevendo
$$
y
y
Passo 3
Aplicamos a mudança de variável
. Pela teoria, essa transformação leva a
Passo 4
Substituindo
,
e
obtemos
$$
z
z
Passo 5
Agora resolvemos a EDO linear
. O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados por
e integrando:
Passo 6
Fazendo a integral de
por partes, chega-se a
e, multiplicando por
,
Passo 7
Por fim, voltamos à variável original:
, de onde
Resposta
y(t) = \bigl(Ce^t - 2t - 1\bigr)^{-1/3}