Determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial de segunda ordem (porque aparece
). - É homogênea (lado direito igual a
). - Os coeficientes são constantes:
para , para e para .
A pergunta é: encontrar a família geral de funçõesque satisfazem essa equação.
Passo 2
Estratégia (motivo do método): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma escolha eficaz é tentar soluções da forma
, porque as derivadas de
são múltiplos de
e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Vamos fazer isso passo a passo.
Se assumimos uma solução da forma
, então:
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação diferencial obtemos:
Como
nunca é zero para qualquer
, podemos dividir por
e obter a equação característica (algébrica) para
:
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
A raiz quadrada de
é
. Aplicando a fórmula:
Portanto obtemos duas raízes reais distintas:
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias reais (essas constantes aparecem porque a equação é de segunda ordem e seu espaço de soluções tem dimensão
). Substituindo os valores de
e
encontrados: