Determine a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-14 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}+8y^{\prime}-14y=0
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem (porque aparece y^{\prime\prime}).
  • É homogênea (lado direito igual a 0).
  • Os coeficientes são constantes: 1 para y^{\prime\prime}, 8 para y^{\prime} e -14 para y.
    A pergunta é: encontrar a família geral de funções y(x) que satisfazem essa equação.

Passo 2

Estratégia (motivo do método): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma escolha eficaz é tentar soluções da forma y=e^{rx}, porque as derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx} e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Vamos fazer isso passo a passo.
Se assumimos uma solução da forma y=e^{rx}, então:
y = e^{rx},\qquad y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação diferencial obtemos:
r^{2}e^{rx} + 8 r e^{rx} -14 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero para qualquer x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica (algébrica) para r:
r^{2} + 8r -14 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática \;r^{2}+8r-14=0\; usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
\Delta = 8^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-14) = 64 + 56 = 120.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{120} = 2\sqrt{30}. Aplicando a fórmula:
r=\frac{-8\pm\sqrt{120}}{2}=\frac{-8\pm 2\sqrt{30}}{2}=-4\pm\sqrt{30}.
Portanto obtemos duas raízes reais distintas:
r_{1} = -4 + \sqrt{30},\qquad r_{2} = -4 - \sqrt{30}.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais (essas constantes aparecem porque a equação é de segunda ordem e seu espaço de soluções tem dimensão 2). Substituindo os valores de r_{1} e r_{2} encontrados:
y(x) = C_{1}e^{(-4+\sqrt{30})x} + C_{2}e^{(-4-\sqrt{30})x}.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{(-4+\sqrt{30})x}+C_{2}e^{(-4-\sqrt{30})x}

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