Determine P na elipse x^{2}+2 y^{2}=6 e Q na reta x+y=4 de modo que a distância de P a Q seja a menor possível.
Considere a forma quadrática Q(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2} onde a, b, c são constantes não simultaneamente nulas. Seja g(x, y)=x^{2}+y^{2}-1. Suponha que \left(x_{0}, y_{0}, \lambda_{0}\right) seja solução do sistema
Exercício 25: temos a elipse [x{2}+2y{2}=6) e a reta x+y=4. Pede-se determinar um ponto P que pertença à elipse e um ponto Q que pertença à reta de modo que a distância entre P e Q seja a menor possível. Informações relevantes: equação da elipse x^{2}+2y^{2}=6 e equação da reta x+y=4.
Exercício 26: temos a forma quadrática Q(x,y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2} com constantes a,b,c não todas nulas, e a restrição g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1. Suponha que \left(x_{0},y_{0},\lambda_{0}\right) resolva o sistema
Pede-se provar que (Q\left(x_{0},y_{0}\right)=\lambda_{0}].]
Passo 2
Começando pelo Exercício 25 — estratégia e conceito de distância ponto‑reta. A distância de um ponto (x_{0},y_{0}) à reta dada por a x+b y+c=0 é
\frac{|a x_{0}+b y_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
No nosso caso a reta é x+y=4, que pode ser escrita como x+y-4=0 com a=1,b=1,c=-4. Assim a distância de um ponto (x,y) à reta é
d(x,y)=\frac{|x+y-4|}{\sqrt{2}}.
Minimizar d(x,y) sobre pontos (x,y) da elipse é equivalente a minimizar |x+y-4|, e como |\cdot| é minimizado quando seu quadrado é minimizado, é mais prático minimizar a função
F(x,y)=(x+y-4)^{2}
sujeito à restrição x^{2}+2y^{2}=6. Minimizar F ou F ao quadrado dá o mesmo ponto mínimo e evita valor absoluto.
Passo 3
Método: multiplicadores de Lagrange. Explico rápido: para minimizar F(x,y)\) sujeito à restrição \(G(x,y)=x^{2}+2y^{2}-6=0\), formamos a função Lagrange
\[\mathcal{L}(x,y,\lambda)=F(x,y)+\lambda G(x,y).
As condições de ponto estacionário (candidatos a mínimo) são
Substituindo x=4-y\] na elipse:
\[(4-y)^{2}+2y^{2}=6 \;\Longrightarrow\; 16-8y+y^{2}+2y^{2}=6 \;\Longrightarrow\; 3y^{2}-8y+10=0.\]
O discriminante dessa quadrática é \(\Delta = (-8)^{2}-4\cdot 3\cdot 10=64-120=-56<0. Portanto não há solução real neste caso. Logo \lambda\neq 0.
Passo 6
Portanto estamos no caso (B): x=2y. Substituindo na equação da elipse:
Assim y=\pm 1 e x=2y dá os dois pontos candidatos na elipse:
(2,1)\quad\text{e}\quad(-2,-1).
Agora calculamos a distância à reta x+y=4 para cada um. Lembre que d(x,y)=\dfrac{|x+y-4|}{\sqrt{2}}.
Para (2,1): x+y-4=2+1-4=-1 então d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Para (-2,-1): x+y-4=-2-1-4=-7 então d=\dfrac{7}{\sqrt{2}}.
O menor é \dfrac{1}{\sqrt{2}} em P=(2,1). Bons, já temos P.
Passo 7
Encontrar Q, o ponto da reta x+y=4 mais próximo de P=(2,1). Geometricamente, o segmento PQ deve ser perpendicular à reta; a reta x+y=4 tem vetor normal (1,1). Assim a projeção de P sobre a reta é obtida andando de P na direção do vetor normal até atingir a reta. Escrevemos
A restrição é g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0. Supondo que (x_{0},y_{0},\lambda_{0}) satisfaça \nabla Q=\lambda \nabla g e x^{2}+y^{2}=1, vamos manipular essas equações e deduzir a relação pedida.]
Passo 9
Calculemos explicitamente os gradientes. Para Q as derivadas parciais são
\frac{\partial Q}{\partial x}=2ax+2by,\qquad \frac{\partial Q}{\partial y}=2bx+2c y.
Em vetor:
\nabla Q(x,y)=2\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=2A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.