- Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.
- Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.
Passo 1
Problema 15: Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja
e cujo produto seja máximo. Dados: três números positivos
tais que
. Pergunta: quais são esses números e qual é o produto máximo?
Problema 16: Determinar, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima. Dados: triângulos com mesmo perímetro
(ou seja,
). Pergunta: qual é o triângulo que, para um perímetro fixo, tem a maior área (e, se quiser, qual é essa área em função de
)?
Passo 2
Escolhendo o método para cada problema (sem complicar demais): para o problema 15 vamos usar a desigualdade entre média aritmética e média geométrica (AM-GM), que é uma ferramenta direta e simples para maximizar produtos quando a soma é fixa. Para o problema 16 vamos usar a fórmula de Heron para a área em termos dos lados e transformar o problema em outro de maximização de produto com soma fixa — aí reaplicamos AM-GM. Vou explicar essas ferramentas com calma antes de aplicá-las.
Passo 3
A ferramenta principal: desigualdade AM-GM para três números positivos. Enunciado da desigualdade: para quaisquer
,
,
vale
com igualdade se, e somente se,
.
Explicando em palavras simples: a média aritmética (a soma dividida por 3) nunca é menor que a média geométrica (a raiz cúbica do produto). Aqui cada variável representa um dos números que estamos manipulando. A utilidade prática: se a soma
é fixa, a desigualdade dá um limite superior imediato para o produto
. A igualdade mostra também em que situação (valores dos números) esse limite é atingido.
(Rápida justificativa intuitiva: AM-GM pode ser provada de várias formas — por logaritmos, por convexidade, ou por aplicar a AM-GM para pares sucessivamente —, mas vou usá-la como fato conhecido e focar em como usar e interpretar a igualdade
que garante o máximo do produto.)
Passo 4
Aplicando AM-GM ao problema 15. Temos três números positivos
com
Pela desigualdade AM-GM,
Substituindo a soma dada,
ou seja
Elevando ambos os lados ao cubo (operacão válida porque todos os termos são positivos),
Portanto o produto
não pode ser maior que
.
Passo 5
Condição de igualdade e conclusão do problema 15. A desigualdade AM-GM tem igualdade exatamente quando
. Como a soma é
, isso dá
Logo o produto máximo é alcançado para os três números iguais a
, e o produto máximo é
Resumo prático: para somas fixas, “repartir igualmente” maximiza o produto — ótima regra para a prova.
Passo 6
Agora vamos para o problema 16. Primeiro apresento a fórmula de Heron (útil porque expressa a área somente em função dos lados): para um triângulo com lados
e semiperímetro
, a área
é
Aqui
é metade do perímetro; os termos
são positivos exatamente quando as desigualdades triangulares são satisfeitas. A fórmula de Heron é conveniente porque, se o perímetro
é fixo, então
é fixo e a área depende apenas do produto
.
Passo 7
Redução do problema 16 a um problema de soma fixa. Seja o perímetro fixo
e
. Definimos
Esses
são positivos (porque
) e satisfazem
Reescrevendo a área por Heron em termos de
,
Para
fixo, maximizar
é equivalente a maximizar o produto
sob a restrição
. Mas isso é exatamente o mesmo tipo de problema do 15: maximizar o produto de três positivos com soma fixa.
Passo 8
Aplicando AM-GM ao problema transformado. Pela desigualdade AM-GM para
com
,
A igualdade ocorre quando
. Assim o produto
é máximo em
e, substituindo em
, o máximo da área ocorre quando
.
Passo 9
Interpretando em termos dos lados do triângulo e conclusão do problema 16. Se
então
Mas
, então
O mesmo vale para
e
. Portanto os três lados são iguais: o triângulo de maior área, com perímetro fixo
, é o triângulo equilátero (todos os lados
).
Se quisermos a área máxima em função de
, usamos a fórmula conhecida para área de triângulo equilátero com lado
:
Substituindo,
Outra forma (usando
) é
que é equivalente à forma anterior.
Resposta
-
— produto máximo \n - Triângulo equilátero (lados
); área máxima