1. Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.
  2. Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.

Passo 1

Problema 15: Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo. Dados: três números positivos x,y,z tais que x+y+z=36. Pergunta: quais são esses números e qual é o produto máximo?
Problema 16: Determinar, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima. Dados: triângulos com mesmo perímetro P (ou seja, a+b+c=P). Pergunta: qual é o triângulo que, para um perímetro fixo, tem a maior área (e, se quiser, qual é essa área em função de P)?

Passo 2

Escolhendo o método para cada problema (sem complicar demais): para o problema 15 vamos usar a desigualdade entre média aritmética e média geométrica (AM-GM), que é uma ferramenta direta e simples para maximizar produtos quando a soma é fixa. Para o problema 16 vamos usar a fórmula de Heron para a área em termos dos lados e transformar o problema em outro de maximização de produto com soma fixa — aí reaplicamos AM-GM. Vou explicar essas ferramentas com calma antes de aplicá-las.

Passo 3

A ferramenta principal: desigualdade AM-GM para três números positivos. Enunciado da desigualdade: para quaisquer x>0, y>0, z>0 vale
\frac{x+y+z}{3} \ge (xyz)^{1/3},
com igualdade se, e somente se, x=y=z.
Explicando em palavras simples: a média aritmética (a soma dividida por 3) nunca é menor que a média geométrica (a raiz cúbica do produto). Aqui cada variável representa um dos números que estamos manipulando. A utilidade prática: se a soma x+y+z é fixa, a desigualdade dá um limite superior imediato para o produto xyz. A igualdade mostra também em que situação (valores dos números) esse limite é atingido.
(Rápida justificativa intuitiva: AM-GM pode ser provada de várias formas — por logaritmos, por convexidade, ou por aplicar a AM-GM para pares sucessivamente —, mas vou usá-la como fato conhecido e focar em como usar e interpretar a igualdade x=y=z que garante o máximo do produto.)

Passo 4

Aplicando AM-GM ao problema 15. Temos três números positivos x,y,z com
x+y+z=36.
Pela desigualdade AM-GM,
\frac{x+y+z}{3} \ge (xyz)^{1/3}.
Substituindo a soma dada,
\frac{36}{3} \ge (xyz)^{1/3},
ou seja
12 \ge (xyz)^{1/3}.
Elevando ambos os lados ao cubo (operacão válida porque todos os termos são positivos),
1728 \ge xyz.
Portanto o produto xyz não pode ser maior que 1728.

Passo 5

Condição de igualdade e conclusão do problema 15. A desigualdade AM-GM tem igualdade exatamente quando x=y=z. Como a soma é 36, isso dá
x=y=z=\frac{36}{3}=12.
Logo o produto máximo é alcançado para os três números iguais a 12, e o produto máximo é
12\cdot 12\cdot 12 = 1728.
Resumo prático: para somas fixas, “repartir igualmente” maximiza o produto — ótima regra para a prova.

Passo 6

Agora vamos para o problema 16. Primeiro apresento a fórmula de Heron (útil porque expressa a área somente em função dos lados): para um triângulo com lados a,b,c e semiperímetro s=\dfrac{a+b+c}{2}, a área \Delta é
\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
Aqui s é metade do perímetro; os termos s-a,s-b,s-c são positivos exatamente quando as desigualdades triangulares são satisfeitas. A fórmula de Heron é conveniente porque, se o perímetro P é fixo, então s=\dfrac{P}{2} é fixo e a área depende apenas do produto (s-a)(s-b)(s-c).

Passo 7

Redução do problema 16 a um problema de soma fixa. Seja o perímetro fixo P e s=\dfrac{P}{2}. Definimos
x = s-a,\qquad y = s-b,\qquad z = s-c.
Esses x,y,z são positivos (porque a,b,c<s) e satisfazem
x+y+z = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s.
Reescrevendo a área por Heron em termos de x,y,z,
\Delta = \sqrt{s\,(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{s\;xyz}.
Para s fixo, maximizar \Delta é equivalente a maximizar o produto xyz sob a restrição x+y+z=s. Mas isso é exatamente o mesmo tipo de problema do 15: maximizar o produto de três positivos com soma fixa.

Passo 8

Aplicando AM-GM ao problema transformado. Pela desigualdade AM-GM para x,y,z>0 com x+y+z=s,
\frac{x+y+z}{3} \ge (xyz)^{1/3} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{s}{3}\right)^3 \ge xyz.
A igualdade ocorre quando x=y=z=\dfrac{s}{3}. Assim o produto xyz é máximo em x=y=z=\dfrac{s}{3} e, substituindo em \Delta=\sqrt{s\,xyz}, o máximo da área ocorre quando x=y=z=\dfrac{s}{3}.

Passo 9

Interpretando em termos dos lados do triângulo e conclusão do problema 16. Se x=s-a=\dfrac{s}{3} então
a = s-x = s-\frac{s}{3} = \frac{2s}{3}.
Mas s=\dfrac{P}{2}, então
a = \frac{2}{3}s = \frac{2}{3}\cdot\frac{P}{2} = \frac{P}{3}.
O mesmo vale para b e c. Portanto os três lados são iguais: o triângulo de maior área, com perímetro fixo P, é o triângulo equilátero (todos os lados =P/3).
Se quisermos a área máxima em função de P, usamos a fórmula conhecida para área de triângulo equilátero com lado t:
\Delta_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,t^2,\qquad t=\frac{P}{3}.
Substituindo,
\Delta_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{P}{3}\right)^2 = \frac{P^2\sqrt{3}}{36}.
Outra forma (usando s) é
\Delta_{\max} = \frac{s^2}{3\sqrt{3}},\quad\text{com }s=\frac{P}{2},
que é equivalente à forma anterior.

Resposta

  1. 12,\;12,\;12 — produto máximo 1728.\n
  2. Triângulo equilátero (lados =\dfrac{P}{3}); área máxima \displaystyle \frac{P^2\sqrt{3}}{36}.

Exercícios relacionados