Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de 1^{\circ} ordem:
frac{d y}{d x}=y \tan ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial
\frac{dy}{dx}=y\tan^{2}x.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação envolve a função incógnita y(x) e sua derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • O termo do lado direito é y multiplicado por \tan^{2}x.
  • A tarefa é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade (a solução geral), indicando a constante(s) de integração necessárias.
  • Observação importante: \tan x não está definida nos pontos x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (com k\in\mathbb{Z}), então as soluções serão válidas em intervalos onde \tan x é contínua.

Passo 2

Detectar formas triviais e preparar separação de variáveis:
  • Se y(x)\equiv 0 para todo x então \dfrac{dy}{dx}=0 e a igualdade fica 0=0. Logo y\equiv 0 é uma solução (a solução trivial).
  • Para procurar as soluções não triviais, assumimos y(x)\neq 0 no intervalo considerado, e podemos dividir ambos os lados por y. Fazendo isso obtemos
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\tan^{2}x.
  • Agora separamos as variáveis y e x: escrevemos tudo envolvendo y com dy e tudo envolvendo x com dx:
\frac{dy}{y}=\tan^{2}x\,dx.
Explicação curta: “separável” significa que dá para escrever a diferencial de um lado só em função de y e do outro só em função de x; isso permite integrar ambos os lados.

Passo 3

Integrar ambos os lados e calcular a primitiva do lado direito:
  • Integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{y}=\int \tan^{2}x\,dx.
  • A primitiva do lado esquerdo é bem conhecida:
\int \frac{dy}{y}=\ln|y| + C_1,
onde C_1 é constante de integração e o valor absoluto aparece porque a integral de 1/y \ln|y|.
  • Para integrar \tan^{2}x usamos a identidade trigonométrica
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x,
ou seja
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
  • Então
\int \tan^{2}x\,dx=\int(\operatorname{sec}^{2}x-1)\,dx=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx-\int 1\,dx.
As primitivases são \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x e \int 1\,dx=x. Portanto
\int \tan^{2}x\,dx=\tan x - x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 4

Igualar as integrais e juntar as constantes:
  • Igualando os resultados das integrais temos
\ln|y| = \tan x - x + C,
onde C é uma constante (a diferença C_2-C_1, reagrupada numa única constante).
  • Agora exponenciamos para resolver para y:
|y| = e^{\tan x - x + C} = e^{C} e^{\tan x - x}.
  • Escrevendo A=e^{C} (com A>0) e removendo o valor absoluto, obtemos a família geral de soluções
y = C_0 e^{\tan x - x},
onde C_0 é uma constante real arbitrária (podemos permitir C_0 positivo, negativo ou zero; o caso C_0=0 recupera a solução trivial y\equiv 0).

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Seja y(x)=C_0 e^{\tan x - x}. Aplicando a regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=C_0 e^{\tan x - x}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x - 1\bigr).
  • Como \operatorname{sec}^{2}x-1=\tan^{2}x, isso dá
\frac{dy}{dx}=y\cdot \tan^{2}x,
que é exatamente a equação diferencial original. Portanto a solução está correta.

Passo 6

Observação sobre domínio:
  • As soluções y=C_0 e^{\tan x - x} são válidas em qualquer intervalo onde \tan x é contínua (ou seja, em intervalos do tipo \bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+(k+1)\pi\bigr) ou variantes deslocadas), porque a equação e a integração usam \tan x e \operatorname{sec}^{2}x.

Resposta

y=C\,e^{\tan x - x}, com C\in\mathbb{R} (constante arbitrária).

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