Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- A equação envolve a função incógnita
e sua derivada . - O termo do lado direito é
multiplicado por . - A tarefa é encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade (a solução geral), indicando a constante(s) de integração necessárias. - Observação importante:
não está definida nos pontos (com ), então as soluções serão válidas em intervalos onde é contínua.
Passo 2
Detectar formas triviais e preparar separação de variáveis:
- Se
para todo então e a igualdade fica . Logo é uma solução (a solução trivial). - Para procurar as soluções não triviais, assumimos
no intervalo considerado, e podemos dividir ambos os lados por . Fazendo isso obtemos
- Agora separamos as variáveis
e : escrevemos tudo envolvendo com e tudo envolvendo com :
Explicação curta: “separável” significa que dá para escrever a diferencial de um lado só em função de
e do outro só em função de
; isso permite integrar ambos os lados.
Passo 3
Integrar ambos os lados e calcular a primitiva do lado direito:
- Integramos os dois lados:
- A primitiva do lado esquerdo é bem conhecida:
onde
é constante de integração e o valor absoluto aparece porque a integral de
dá
.
- Para integrar
usamos a identidade trigonométrica
ou seja
- Então
As primitivases são
e
. Portanto
onde
é outra constante de integração.
Passo 4
Igualar as integrais e juntar as constantes:
- Igualando os resultados das integrais temos
onde
é uma constante (a diferença
, reagrupada numa única constante).
- Agora exponenciamos para resolver para
:
- Escrevendo
(com ) e removendo o valor absoluto, obtemos a família geral de soluções
onde
é uma constante real arbitrária (podemos permitir
positivo, negativo ou zero; o caso
recupera a solução trivial
).
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Seja
. Aplicando a regra da cadeia,
- Como
, isso dá
que é exatamente a equação diferencial original. Portanto a solução está correta.
Passo 6
Observação sobre domínio:
- As soluções
são válidas em qualquer intervalo onde é contínua (ou seja, em intervalos do tipo ou variantes deslocadas), porque a equação e a integração usam e .