Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de 1^{\circ} ordem:
y^{\prime}+x^{2} y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de 1º ordem
y'+x^{2}y=0
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada y' com y e o coeficiente é a função x^{2}. Não há condição inicial fornecida, então queremos a família de soluções com uma constante arbitrária.

Passo 2

Escolha do método. Esta equação é do tipo linear de 1ª ordem, mas também é separável porque pode ser escrita como uma relação do tipo "função de y vezes dy =) função de x vezes dx". Entre os métodos possíveis (fator integrante ou separação de variáveis), a separação é mais direta aqui e leva a integrais fáceis. Vou usar separação de variáveis.

Passo 3

Reescrever a derivada explicitamente. Lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, a equação fica
\frac{dy}{dx}+x^{2}y=0.
Isolando a derivada:
\frac{dy}{dx}=-x^{2}y.

Passo 4

Separar as variáveis y e x. Para isso, dividir ambos os lados por y (atenção: isto exige y\neq0; a solução identicamente zero será tratada à parte):
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=-x^{2}.
Agora multiplicar por dx para obter a forma separada:
\frac{1}{y}\,dy = -x^{2}\,dx.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Integramos em relação às variáveis correspondentes:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -x^{2}\,dx.
Calcule as integrais:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_{1}, \qquad \int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + C_{2}.
Podemos juntar as constantes ( C=C_{2}-C_{1}) e escrever
\ln|y| = -\frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 6

Isolar y exponenciando. Aplicando exponencial em ambos os lados:
|y| = e^{C}\,e^{-x^{3}/3}.
Chame A=e^{C}>0. Então |y|=A e^{-x^{3}/3}, o que dá y=\pm A e^{-x^{3}/3}. Absorvendo o sinal em uma constante arbitrária C (agora C pode ser qualquer número real, inclusive 0), obtemos a forma geral
y(x)=C\,e^{-x^{3}/3},
onde C\in\mathbb{R}. Observe que C=0 corresponde à solução trivial y\equiv0 que também é solução da equação original (portanto não foi perdida).

Passo 7

Comentários finais e domínio. A solução geral é y(x)=C e^{-x^{3}/3} com C\in\mathbb{R}. A função exponencial é bem definida para todo x\in\mathbb{R}, portanto a solução está válida em toda a reta real. Se houver uma condição inicial y(x_{0})=y_{0}, basta escolher C=y_{0}e^{x_{0}^{3}/3}.

Resposta

y(x)=C\,e^{-x^{3}/3},\; C\in\mathbb{R}

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