Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de
ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de 1º ordem
e pede a solução geral
.
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada com
e o coeficiente é a função
. Não há condição inicial fornecida, então queremos a família de soluções com uma constante arbitrária.
Informações relevantes: a equação relaciona a derivada
Passo 2
Escolha do método. Esta equação é do tipo linear de 1ª ordem, mas também é separável porque pode ser escrita como uma relação do tipo "função de
vezes
=) função de
vezes
". Entre os métodos possíveis (fator integrante ou separação de variáveis), a separação é mais direta aqui e leva a integrais fáceis. Vou usar separação de variáveis.
Passo 3
Reescrever a derivada explicitamente. Lembrando que
, a equação fica
Isolando a derivada:
Passo 4
Separar as variáveis
e
. Para isso, dividir ambos os lados por
(atenção: isto exige
; a solução identicamente zero será tratada à parte):
Agora multiplicar por
para obter a forma separada:
Passo 5
Integrar ambos os lados. Integramos em relação às variáveis correspondentes:
Calcule as integrais:
Podemos juntar as constantes (
) e escrever
Passo 6
Isolar
exponenciando. Aplicando exponencial em ambos os lados:
Chame
. Então
, o que dá
. Absorvendo o sinal em uma constante arbitrária
(agora
pode ser qualquer número real, inclusive
), obtemos a forma geral
onde
. Observe que
corresponde à solução trivial
que também é solução da equação original (portanto não foi perdida).
Passo 7
Comentários finais e domínio. A solução geral é
com
. A função exponencial é bem definida para todo
, portanto a solução está válida em toda a reta real. Se houver uma condição inicial
, basta escolher
.