Esboce o gráfico (use as ferramentas que você aprendeu em sala de aula), dê o domínio e a imagem da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas:
- Esboçar o gráfico da função.
- Determinar o domínio da função.
- Determinar a imagem (conjunto-valor) da função.
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica(nenhuma outra condição foi imposta).
Passo 2
Qual é o tipo de expressão que temos e por que isso importa.
- A função é um polinômio (um monômio, na verdade) de grau
. Polinômios estão definidos para todo número real sem restrição. Isso já sugere algo sobre o domínio: não há divisões por zero nem raízes pares de números negativos que impeçam valores reais. - Além disso, termos do tipo
são sempre não-negativos para qualquer . Esse é o primeiro indício sobre a imagem (o porquê de não obter valores negativos).
Passo 3
Definindo o domínio de forma clara e didática.
- Domínio significa: todos os
que podem ser inseridos na fórmula sem problema. - Como
é polinomial, qualquer funciona. - Conclusão: o domínio é
(ou seja, todos os reais).
Passo 4
Observação sobre sinais e valores mínimos — conduzindo à imagem.
- Para todo
tem-se . Em notação: . - Então nenhum valor negativo pode aparecer como
. Logo a imagem está contida em . - Agora mostrar que todo número
é realmente atingido: dado , escolha (ou ). Então . Assim todo tem um antecedente. - Conclusão: a imagem (conjunto de valores) é exatamente
.
Passo 5
Pontos notáveis para desenhar o gráfico (faça uma tabelinha na folha — é rápido e eficaz).
- Calcule alguns valores fáceis para formar o esboço:
-
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto . -
→ ponto .
-
- Esses pontos já dão a forma da curva: simétrica em relação ao eixo
e com “braços” subindo para quando .
Passo 6
Simetria, vértice e concavidade — como interpretar ao esboçar.
- Simetria:
. Portanto é função par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical (eixo ). - Vértice: o menor valor de
ocorre em , com . Então o vértice da parábola é . - Concavidade: coeficiente de
é positivo ( ), então a parábola abre para cima. - Assim o esboço é uma curva em forma de U com vértice em
, simétrica e subindo para a esquerda e direita.
Passo 7
Monotonicidade (uma dica prática para a prova).
- Derivada (ferramenta curtinha e poderosa):
. - Signo de
: - Para
, → é decrescente à esquerda do vértice. - Para
, → é crescente à direita do vértice.
- Para
- Isso confirma o formato em U com mínimo em
.
Passo 8
Como esboçar passo a passo na folha (sem calculadora).
- Desenhe dois eixos perpendiculares, marque o zero em interseção.
- Marque a escala (por exemplo, 1 unidade por traço no eixo horizontal e vertical).
- Plote os pontos
. - Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, formando uma parábola simétrica com vértice em
. Evite cantos: a parábola é suave. - Coloque setas nas extremidades para indicar que os ramos continuam subindo quando
aumenta. - Opcional: desenhe a linha de simetria
como traço pontilhado e marque que não há assíntotas.
Passo 9
Resumo das propriedades úteis para consulta rápida na prova.
- Vértice:
. - Eixo de simetria:
. - Zeros/raízes: único zero real em
. - Crescimento: decrescente em
, crescente em . - Limites:
. - Sem assíntotas.
Resposta
Gráfico: parábola com vértice em
, simétrica em relação ao eixo
, que passa por
e abre para cima.
Domínio: .
Imagem: .
Domínio:
Imagem: