Esboce o gráfico (use as ferramentas que você aprendeu em sala de aula), dê o domínio e a imagem da função:
f(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{2} e pede três coisas:
  • Esboçar o gráfico da função.
  • Determinar o domínio da função.
  • Determinar a imagem (conjunto-valor) da função.
    Informações relevantes dadas: a expressão algébrica f(x)=x^{2} (nenhuma outra condição foi imposta).

Passo 2

Qual é o tipo de expressão que temos e por que isso importa.
  • A função é um polinômio (um monômio, na verdade) de grau 2. Polinômios estão definidos para todo número real sem restrição. Isso já sugere algo sobre o domínio: não há divisões por zero nem raízes pares de números negativos que impeçam valores reais.
  • Além disso, termos do tipo x^{2} são sempre não-negativos para qualquer x\in\mathbb{R}. Esse é o primeiro indício sobre a imagem (o porquê de não obter valores negativos).

Passo 3

Definindo o domínio de forma clara e didática.
  • Domínio significa: todos os x que podem ser inseridos na fórmula sem problema.
  • Como f é polinomial, qualquer x\in\mathbb{R} funciona.
  • Conclusão: o domínio é \mathbb{R} (ou seja, todos os reais).

Passo 4

Observação sobre sinais e valores mínimos — conduzindo à imagem.
  • Para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{2}\ge 0. Em notação: \forall x\in\mathbb{R},\\ f(x)=x^{2}\ge 0.
  • Então nenhum valor negativo pode aparecer como f(x). Logo a imagem está contida em [0,\infty).
  • Agora mostrar que todo número y\ge 0 é realmente atingido: dado y\ge 0, escolha x=\sqrt{y} (ou x=-\sqrt{y}). Então f(x)=x^{2}=(\sqrt{y})^{2}=y. Assim todo y\ge0 tem um antecedente.
  • Conclusão: a imagem (conjunto de valores) é exatamente [0,\infty).

Passo 5

Pontos notáveis para desenhar o gráfico (faça uma tabelinha na folha — é rápido e eficaz).
  • Calcule alguns valores fáceis para formar o esboço:
    • f(-3)=(-3)^{2}=9 → ponto (-3,9).
    • f(-2)=(-2)^{2}=4 → ponto (-2,4).
    • f(-1)=(-1)^{2}=1 → ponto (-1,1).
    • f(0)=0^{2}=0 → ponto (0,0).
    • f(1)=1^{2}=1 → ponto (1,1).
    • f(2)=2^{2}=4 → ponto (2,4).
    • f(3)=3^{2}=9 → ponto (3,9).
  • Esses pontos já dão a forma da curva: simétrica em relação ao eixo y e com “braços” subindo para +\infty quando |x|\to\infty.

Passo 6

Simetria, vértice e concavidade — como interpretar ao esboçar.
  • Simetria: f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x). Portanto f é função par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical x=0 (eixo y).
  • Vértice: o menor valor de f ocorre em x=0, com f(0)=0. Então o vértice da parábola é (0,0).
  • Concavidade: coeficiente de x^{2} é positivo ( +1), então a parábola abre para cima.
  • Assim o esboço é uma curva em forma de U com vértice em (0,0), simétrica e subindo para a esquerda e direita.

Passo 7

Monotonicidade (uma dica prática para a prova).
  • Derivada (ferramenta curtinha e poderosa): f'(x)=2x.
  • Signo de f':
    • Para x<0, f'(x)=2x<0 f é decrescente à esquerda do vértice.
    • Para x>0, f'(x)=2x>0 f é crescente à direita do vértice.
  • Isso confirma o formato em U com mínimo em x=0.

Passo 8

Como esboçar passo a passo na folha (sem calculadora).
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares, marque o zero em interseção.
  2. Marque a escala (por exemplo, 1 unidade por traço no eixo horizontal e vertical).
  3. Plote os pontos (-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9).
  4. Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, formando uma parábola simétrica com vértice em (0,0). Evite cantos: a parábola é suave.
  5. Coloque setas nas extremidades para indicar que os ramos continuam subindo quando |x| aumenta.
  6. Opcional: desenhe a linha de simetria x=0 como traço pontilhado e marque que não há assíntotas.

Passo 9

Resumo das propriedades úteis para consulta rápida na prova.
  • Vértice: (0,0).
  • Eixo de simetria: x=0.
  • Zeros/raízes: único zero real em x=0.
  • Crescimento: decrescente em (-\infty,0], crescente em [0,\infty).
  • Limites: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
  • Sem assíntotas.

Resposta

Gráfico: parábola com vértice em (0,0), simétrica em relação ao eixo y, que passa por (-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9) e abre para cima.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: [0,\infty).

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