Esboce o gráfico (use as ferramentas que você aprendeu em sala de aula), dê o domínio e a imagem da função:
f(x)=\ln |x|

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln|x| e pede duas coisas:
  • Esboçar o gráfico da função (usar ferramentas de sala de aula: pontos notáveis, assimptotas, simetria, monotonicidade, concavidade).
  • Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis de x e de f(x), respectivamente).
Informações explícitas que temos:
  • A função é a composição do logaritmo natural \ln(\cdot) com o valor absoluto |x|.
  • Não há mais dados numéricos; tudo será deduzido das propriedades de \ln e de |x|.

Passo 2

Determinar o domínio: lembrete rápido sobre \ln.
  • A função \ln(t) está definida somente para argumentos t>0.
  • Como aqui o argumento é |x|, precisamos de |x|>0.
  • A desigualdade |x|>0 equivale a x\neq 0.
Portanto o domínio é
(-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Determinar a imagem (o conjunto de valores que f atinge): ideia e prova construtiva.
  • Para qualquer y\in\mathbb{R} podemos resolver \ln|x|=y.
  • Exponenciando ambos os lados: |x|=e^{y}. Como e^{y}>0 para todo y, existem soluções para |x|.
  • Assim x=e^{y} ou x=-e^{y} são soluções (ambas válidas porque |-e^{y}|=e^{y}).
Então, para qualquer y\in\mathbb{R} existe x tal que f(x)=y. Logo a imagem é
\mathbb{R}.

Passo 4

Comportamento nas extremidades e assimptotas (importante para esboço).
  • Quando x\to 0^{+} temos \ln|x|=\ln x\to -\infty.
  • Quando x\to 0^{-} temos \ln|x|=\ln(-x)\to -\infty.
    Logo há uma assíntota vertical em x=0: a curva cai para -\infty ao se aproximar de 0 por qualquer lado.
  • Quando x\to+\infty temos \ln|x|=\ln x\to +\infty.
  • Quando x\to-\infty temos \ln|x|=\ln(-x)\to +\infty.
    Não há assíntota horizontal; a função tende a +\infty nos extremos.

Passo 5

Simetria da função — por que os dois ramos são iguais.
  • |x| é par, ou seja |-x|=|x|.
  • Então \ln|{-x}|=\ln|x|, isto é, f(-x)=f(x).
    A função é par: o ramo à esquerda é o reflexo do ramo à direita em relação ao eixo y.

Passo 6

Monotonicidade — derivada e interpretação física (como desenhar no rascunho).
  • Para x\neq 0 a derivada pode ser encontrada considerando os dois casos ou usando a fórmula geral:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}\quad\text{para }x\neq 0.
Explicação rápida: para x>0 tem-se f(x)=\ln x e f'(x)=1/x; para x<0 tem-se f(x)=\ln(-x) e usando cadeia obtém-se também 1/x.
  • Sinal de f'(x):
    • Se x>0 então f'(x)=1/x>0: ramo direito é crescente.
    • Se x<0 então f'(x)=1/x<0: ramo esquerdo é decrescente (ao percorrer x no sentido crescente, valores decrescem).
      Isto combina com o fato de que cada ramo sobe para +\infty quando |x|\to\infty e desce para -\infty quando |x|\to 0.

Passo 7

Concavidade — segunda derivada e consequência para o traço do gráfico.
  • Segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}\quad\text{para }x\neq 0.
  • Como x^{2}>0 para x\neq 0, temos f''(x)<0 em todos os pontos do domínio.
    Conclusão: ambos os ramos são côncavos para baixo (concavidade negativa) — o traço “abre para baixo”.

Passo 8

Pontos notáveis e tabela de valores para ajudar no esboço (valores aproximados).
  • Pontos exatos fáceis: f(1)=\ln 1=0 e f(-1)=\ln|{-1}|=0. Então a curva cruza o eixo x em (1,0) e (-1,0).
  • Alguns valores úteis (usar \ln 2\approx 0,6931 e \ln 10\approx 2,3026):
    • f(0,1)=\ln(0,1)\approx -2,3026.
    • f(0,5)=\ln(0,5)\approx -0,6931.
    • f(1)=0.
    • f(2)=\ln 2\approx 0,6931.
    • f(10)=\ln 10\approx 2,3026.
  • Para x<0 os correspondentes são iguais em abscissas simétricas: f(-0,1)\approx -2,3026, f(-2)\approx 0,6931, etc.

Passo 9

Instruções passo a passo para esboçar o gráfico em papel (ferramentas de sala de aula: eixos, assíntotas, pontos, seta).
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a reta vertical x=0 como linha tracejada (assíntota vertical).
  2. Marque os pontos (1,0) e (-1,0).
  3. Marque alguns pontos da tabela do Passo 8 para x>0 (por ex. x=0{,}1,0{,}5,2,10) e espelhe para x<0.
  4. No lado direito ( x>0) desenhe uma curva que:
    • Cai fortemente para -\infty quando se aproxima de x=0^{+}.
    • Passa por (1,0) e sobe lentamente para +\infty quando x\to+\infty.
    • É crescente e côncava para baixo.
  5. No lado esquerdo ( x<0) desenhe o espelho em relação ao eixo y: começa em +\infty para x\to -\infty, passa por (-1,0) e desce para -\infty quando x\to 0^{-}; é decrescente e côncavo para baixo.
  6. Acrescente setas nas extremidades para indicar que os ramos vão a +\infty quando |x|\to\infty.
Dica para a prova: se pedir justificação curta, escreva: domínio (-\infty,0)\cup(0,\infty), imagem \mathbb{R}; assíntota vertical x=0; simetria par; f'(x)=1/x e f''(x)=-1/x^{2} para concluir monotonicidade e concavidade.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Imagem: \mathbb{R}

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