Esboce o gráfico (use as ferramentas que você aprendeu em sala de aula), dê o domínio e a imagem da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Esboçar o gráfico da função (usar ferramentas de sala de aula: pontos notáveis, assimptotas, simetria, monotonicidade, concavidade).
- Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis de
e de , respectivamente).
Informações explícitas que temos:
- A função é a composição do logaritmo natural
com o valor absoluto . - Não há mais dados numéricos; tudo será deduzido das propriedades de
e de .
Passo 2
Determinar o domínio: lembrete rápido sobre
.
- A função
está definida somente para argumentos . - Como aqui o argumento é
, precisamos de . - A desigualdade
equivale a .
Portanto o domínio é
Passo 3
Determinar a imagem (o conjunto de valores que
atinge): ideia e prova construtiva.
- Para qualquer
podemos resolver . - Exponenciando ambos os lados:
. Como para todo , existem soluções para . - Assim
ou são soluções (ambas válidas porque ).
Então, para qualquer
existe
tal que
. Logo a imagem é
Passo 4
Comportamento nas extremidades e assimptotas (importante para esboço).
- Quando
temos . - Quando
temos .
Logo há uma assíntota vertical em: a curva cai para ao se aproximar de por qualquer lado. - Quando
temos . - Quando
temos .
Não há assíntota horizontal; a função tende anos extremos.
Passo 5
Simetria da função — por que os dois ramos são iguais.
-
é par, ou seja . - Então
, isto é, .
A função é par: o ramo à esquerda é o reflexo do ramo à direita em relação ao eixo.
Passo 6
Monotonicidade — derivada e interpretação física (como desenhar no rascunho).
- Para
a derivada pode ser encontrada considerando os dois casos ou usando a fórmula geral:
Explicação rápida: para
tem-se
e
; para
tem-se
e usando cadeia obtém-se também
.
- Sinal de
: - Se
então : ramo direito é crescente. - Se
então : ramo esquerdo é decrescente (ao percorrer x no sentido crescente, valores decrescem).
Isto combina com o fato de que cada ramo sobe paraquando e desce para quando .
- Se
Passo 7
Concavidade — segunda derivada e consequência para o traço do gráfico.
- Segunda derivada:
- Como
para , temos em todos os pontos do domínio.
Conclusão: ambos os ramos são côncavos para baixo (concavidade negativa) — o traço “abre para baixo”.
Passo 8
Pontos notáveis e tabela de valores para ajudar no esboço (valores aproximados).
- Pontos exatos fáceis:
e . Então a curva cruza o eixo em e . - Alguns valores úteis (usar
e ): -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Para
os correspondentes são iguais em abscissas simétricas: , , etc.
Passo 9
Instruções passo a passo para esboçar o gráfico em papel (ferramentas de sala de aula: eixos, assíntotas, pontos, seta).
- Desenhe os eixos
e e marque a reta vertical como linha tracejada (assíntota vertical). - Marque os pontos
e . - Marque alguns pontos da tabela do Passo 8 para
(por ex. ) e espelhe para . - No lado direito (
) desenhe uma curva que: - Cai fortemente para
quando se aproxima de . - Passa por
e sobe lentamente para quando . - É crescente e côncava para baixo.
- Cai fortemente para
- No lado esquerdo (
) desenhe o espelho em relação ao eixo : começa em para , passa por e desce para quando ; é decrescente e côncavo para baixo. - Acrescente setas nas extremidades para indicar que os ramos vão a
quando .
Dica para a prova: se pedir justificação curta, escreva: domínio
, imagem
; assíntota vertical
; simetria par;
e
para concluir monotonicidade e concavidade.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: