Determine a solução geral da equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem y’ - 2y = e^2x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: $ y’ - 2y = e^{2x} $. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de 1ª ordem, que é $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, temos:
Isso já está quase na forma padrão. Vamos reescrever para deixar claro:
Aqui, identificamos $ P(x) = -2 $ e $ Q(x) = e^{2x} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante, $ \mu(x) $, é dado por:
Substituindo $ P(x) = -2 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{-2x} $:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A razão de usarmos o fator integrante é que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x)y $. Ou seja:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ y = e^{2x}(x + C) $, onde $ C $ é uma constante arbitrária.