Determine a solução geral da equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem y’ - 2y = e^2x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: $ y’ - 2y = e^{2x} $. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de 1ª ordem, que é $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, temos:
y' + P(x)y = Q(x)
Isso já está quase na forma padrão. Vamos reescrever para deixar claro:
y' - 2y = e^2x
Aqui, identificamos $ P(x) = -2 $ e $ Q(x) = e^{2x} $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante, $ \mu(x) $, é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -2 $:
mu(x) = e^integral P(x),dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e^{-2x} $:
mu(x) = e^-2x
Simplificando o lado direito:
e^-2xy' + e^-2x(-2)y = e^-2xe^2x

Passo 5

A razão de usarmos o fator integrante é que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x)y $. Ou seja:
mu(x)y

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx(e^-2xy),dx = integral 1,dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é $ y = e^{2x}(x + C) $, onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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