Determine a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem apresentada abaixo:
y^{\prime}+y \operatorname{tg} x=\cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^{\prime}+y\,\operatorname{tg} x=\cos^{2}x.
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem e envolve y^{\prime} (derivada de y em relação a x).
  • O termo \operatorname{tg} x é a tangente, i.e. \operatorname{tg} x=\tan x.
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x) (contendo a constante arbitrária C).
  • Note que a função \tan x e \operatorname{sec} x são singulares onde \cos x=0; a solução será válida em intervalos onde \cos x\neq0.

Passo 2

Identificamos a equação no formato linear de primeira ordem
y'+p(x)y=q(x),
onde aqui
p(x)=\tan x,\qquad q(x)=\cos^{2}x.
Técnica útil: fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Vamos calcular \int p(x)\,dx=\int \tan x\,dx. Usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos
\int \tan x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
Fazendo a substituição u=\cos x (ou lembrando a primitiva conhecida), obtemos
\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\ln\lvert\cos x\rvert.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(-\ln\lvert\cos x\rvert\big)=\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}.
Como fator integrante pode ser multiplicado por \pm1 sem alterar a técnica, escolhemos a forma conveniente
\mu(x)=\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},
definida em intervalos onde \cos x\neq0.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\operatorname{sec} x. Isso dá
\operatorname{sec} x\,y' + \operatorname{sec} x\,\tan x \,y = \operatorname{sec} x\cos^{2}x.
Agora observamos que a derivada de \operatorname{sec} x é (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x. Assim o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \operatorname{sec} x\cdot y:
\big(\operatorname{sec} x\;y\big)'=\operatorname{sec} x\,y' + (\operatorname{sec} x)'y = \operatorname{sec} x\,y' + \operatorname{sec} x\tan x\,y.
No lado direito simplificamos \operatorname{sec} x\cos^{2}x:
\operatorname{sec} x\cos^{2}x=\frac{1}{\cos x}\cos^{2}x=\cos x.
Logo a equação multiplicada pelo fator integrante fica
\big(\operatorname{sec} x\;y\big)'=\cos x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
\int \big(\operatorname{sec} x\;y\big)'\,dx=\int \cos x\,dx.
A integral do lado esquerdo é \operatorname{sec} x\;y. A integral do lado direito é \sin x mais constante arbitrária C. Assim
\operatorname{sec} x\;y=\sin x + C.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por \cos x:
y=\cos x\;(\sin x + C).
Podemos escrever de formas equivalentes:
y=\sin x\cos x + C\cos x
ou, usando fórmula do ângulo duplo,
y=\tfrac{1}{2}\sin(2x)+C\cos x.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): tomar y=\sin x\cos x + C\cos x. Calculando y':
y'=\big(\sin x\cos x\big)'+\big(C\cos x\big)' = (\cos^{2}x-\sin^{2}x)-C\sin x.
Agora
y'+\tan x\,y=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)-C\sin x+\tan x\big(\sin x\cos x+C\cos x\big).
Calcule os termos com \tan x:
\tan x\cdot\sin x\cos x=\sin^{2}x,\qquad \tan x\cdot C\cos x=C\sin x.
Somando tudo:
(\cos^{2}x-\sin^{2}x)-C\sin x+\sin^{2}x+C\sin x=\cos^{2}x,
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.

Passo 7

Observação sobre domínio: a solução geral encontrada é válida em qualquer intervalo onde \cos x\neq0 (ou seja, entre as singularidades x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi). Em cada tal intervalo a constante C é arbitrária e a fórmula acima descreve todas as soluções.

Resposta

y(x)=\cos x\;(\sin x + C)=\sin x\cos x + C\cos x

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