Determine a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem apresentada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é de primeira ordem e envolve
(derivada de em relação a ). - O termo
é a tangente, i.e. . - Deve-se encontrar a solução geral
(contendo a constante arbitrária ). - Note que a função
e são singulares onde ; a solução será válida em intervalos onde .
Passo 2
Identificamos a equação no formato linear de primeira ordem
onde aqui
Técnica útil: fator integrante
definido por
Vamos calcular
. Usando
, temos
Fazendo a substituição
(ou lembrando a primitiva conhecida), obtemos
Portanto
Como fator integrante pode ser multiplicado por
sem alterar a técnica, escolhemos a forma conveniente
definida em intervalos onde
.
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
Agora observamos que a derivada de
é
. Assim o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
No lado direito simplificamos
:
Logo a equação multiplicada pelo fator integrante fica
Passo 4
Integramos ambos os lados em
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
mais constante arbitrária
. Assim
Passo 5
Isolando
, multiplicamos por
:
Podemos escrever de formas equivalentes:
ou, usando fórmula do ângulo duplo,
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): tomar
. Calculando
:
Agora
Calcule os termos com
:
Somando tudo:
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.
Passo 7
Observação sobre domínio: a solução geral encontrada é válida em qualquer intervalo onde
(ou seja, entre as singularidades
). Em cada tal intervalo a constante
é arbitrária e a fórmula acima descreve todas as soluções.