determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
$12 y^{\prime "}+4 y^{\prime}-y=0$

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
12\,y'' + 4\,y' - y = 0.
O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e, para resolver, usaremos a técnica da equação característica.

Passo 2

Associamos à EDO a equação polinomial em r, chamada equação característica:
12\,r^2 + 4\,r - 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação 12\,r^2 + 4\,r - 1 = 0 pela fórmula de Bhaskara, temos
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1)}}{2 \cdot 12} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{24} = \frac{-4 \pm 8}{24}.
Logo as raízes são
r_1 = \frac{-4 + 8}{24} = \frac{1}{6}, \qquad r_2 = \frac{-4 - 8}{24} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x} = C_1\,e^{\tfrac{x}{6}} + C_2\,e^{-\tfrac{x}{2}},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1\,e^{\tfrac{x}{6}} + C_2\,e^{-\tfrac{x}{2}}.

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