Sabendo que f^{\prime}(x)=x \cos \left(\frac{x}{3}\right) e f(0)=0, calcule f(\pi).
Escolha uma opção: \bigcirc
a. \frac{3 \pi \sqrt{3}-9}{2}
b. \frac{3 \pi \sqrt{3}}{2}
c. \frac{3 \pi \sqrt{3}+9}{2}
d. \frac{3 \pi \sqrt{3}+27}{2}
e. \frac{3 \pi \sqrt{3}-27}{2}

Passo 1

O enunciado dá as informações:
- f^{\prime}(x)=x\cos\!\left(\frac{x}{3}\right).
- f(0)=0.
O que ele pede: calcular f(\pi).

Passo 2

Ideia-chave (sem jargão): se conhecemos a derivada f^{\prime} e um valor inicial f(0), então podemos recuperar f(x) integrando f^{\prime}. Escrevendo isso com a regra fundamental do cálculo:
f(x)=f(0)+\int_{0}^{x} f^{\prime}(t)\,dt.
Aqui t é a variável de integração (apenas um nome), f^{\prime}(t) é a função que vamos integrar e f(0) é a condição inicial que ajusta a constante da primitiva.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao ponto x=\pi obtemos
f(\pi)=f(0)+\int_{0}^{\pi} t\cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt.
Como f(0)=0, isso simplifica para
f(\pi)=\int_{0}^{\pi} t\cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt.
Agora o problema virou: calcular a integral definida acima.

Passo 4

Vamos calcular \displaystyle \int t\cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt usando integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de modo a simplificar a integral.
Escolhemos:
u = t \quad\Rightarrow\quad du = dt,
dv = \cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt \quad\Rightarrow\quad v = \int \cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt.
Para achar v fazemos uma substituição simples: se w=\frac{t}{3} então dt=3\,dw, logo
v = \int \cos(w)\cdot 3\,dw = 3\sin(w) = 3\sin\!\left(\frac{t}{3}\right).
Aplicando a fórmula:
\int t\cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt = t\cdot 3\sin\!\left(\frac{t}{3}\right) - \int 3\sin\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt.
Agora calcule a segunda integral: \displaystyle \int \sin\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt. Usando a mesma substituição w=\frac{t}{3}, obtemos
\int \sin\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt = -3\cos\!\left(\frac{t}{3}\right).
Portanto
\int 3\sin\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt = 3\cdot\big(-3\cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\big) = -9\cos\!\left(\frac{t}{3}\right).
Substituindo de volta:
\int t\cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\,dt = 3t\sin\!\left(\frac{t}{3}\right) - \big(-9\cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\big) = 3t\sin\!\left(\frac{t}{3}\right) + 9\cos\!\left(\frac{t}{3}\right) + C.
(Verificação rápida: derivando essa primitiva retorna t\cos(t/3), então está correta.)

Passo 5

Agora usamos essa primitiva para avaliar a integral definida de 0 a \pi:
f(\pi)=\left[\,3t\sin\!\left(\frac{t}{3}\right) + 9\cos\!\left(\frac{t}{3}\right)\right]_{0}^{\pi}.
Calcule os valores nas extremidades:
Para t=\pi:
3\pi\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) + 9\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Sabendo que \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, isso é
3\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 9\cdot\frac{1}{2} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{9}{2}.
Para t=0:
3\cdot 0\cdot\sin(0) + 9\cos(0) = 0 + 9\cdot 1 = 9.
Subtraindo:
f(\pi)=\left(\frac{3\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{9}{2}\right) - 9 = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{9}{2} - \frac{18}{2} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2} - \frac{9}{2}.
Colocando no numerador comum:
f(\pi)=\frac{3\pi\sqrt{3}-9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3 \pi \sqrt{3}-9}{2}

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