Sabendo que
e
, calcule
.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá as informações:
- .
- .
O que ele pede: calcular .
-
-
O que ele pede: calcular
Passo 2
Ideia-chave (sem jargão): se conhecemos a derivada
e um valor inicial
, então podemos recuperar
integrando
. Escrevendo isso com a regra fundamental do cálculo:
Aqui
é a variável de integração (apenas um nome),
é a função que vamos integrar e
é a condição inicial que ajusta a constante da primitiva.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao ponto
obtemos
Como
, isso simplifica para
Agora o problema virou: calcular a integral definida acima.
Passo 4
Vamos calcular
usando integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
e
de modo a simplificar a integral.
Escolhemos:
Para achar
fazemos uma substituição simples: se
então
, logo
Aplicando a fórmula:
Agora calcule a segunda integral:
. Usando a mesma substituição
, obtemos
Portanto
Substituindo de volta:
(Verificação rápida: derivando essa primitiva retorna
, então está correta.)
Passo 5
Agora usamos essa primitiva para avaliar a integral definida de
a
:
Calcule os valores nas extremidades:
Para
:
Sabendo que
e
, isso é
Para
:
Subtraindo:
Colocando no numerador comum: