Determine a solução geral da equação diferencial
Selecione a resposta:
A
B
C
D
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. As opções fornecidas são:
A
B
C
D
A
B
C
D
Passo 2
Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
. Substituindo
na equação, obtemos a equação característica (uma equação polinomial em
):
Aqui
representa a taxa de crescimento/exponencial associada a cada solução
.
Passo 3
Resolvemos a equação característica. Podemos fatorar
em evidência:
Agora resolvemos
ou
.
Passo 4
Determinamos as raízes do quadrático:
portanto o quadrático tem raiz dupla
(multiplicidade 2). Assim as raízes da equação característica são
Passo 5
Regra importante (explicação didática): se uma raiz
da equação característica tem multiplicidade
, então as soluções associadas são
No nosso caso, para
(multiplicidade 1) a solução é
(uma constante). Para
(multiplicidade 2) as soluções são
e
. Portanto a solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Comparando com as opções dadas, a expressão encontrada coincide com a opção A.
Resposta
A