Determine a solução geral da equação diferencial \mathrm{y} \prime \prime \prime-12 \mathrm{y} \prime \prime+36 \mathrm{y} \prime=0
Selecione a resposta:
A \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{e}^{6 \mathrm{x}}+\mathrm{C}_{3} \mathrm{xe}^{6 \mathrm{x}}
B \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{e}^{6 \mathrm{x}}+\mathrm{C}_{3} e^{6 \mathrm{x}}
C \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1} \mathrm{e}^{6 \mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{xe}^{6 \mathrm{x}}
D \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{e}^{6 \mathrm{x}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'''-12y''+36y'=0
e pede a solução geral y(x). As opções fornecidas são:
A \;y(x)=C_{1}+C_{2}e^{6x}+C_{3}xe^{6x}
B \;y(x)=C_{1}+C_{2}e^{6x}+C_{3}e^{6x}
C \;y(x)=C_{1}e^{6x}+C_{2}xe^{6x}
D \;y(x)=C_{1}+C_{2}e^{6x}

Passo 2

Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo y=e^{rx} na equação, obtemos a equação característica (uma equação polinomial em r):
r^{3}-12r^{2}+36r=0.
Aqui r representa a taxa de crescimento/exponencial associada a cada solução e^{rx}.

Passo 3

Resolvemos a equação característica. Podemos fatorar r em evidência:
r^{3}-12r^{2}+36r = r\,(r^{2}-12r+36).
Agora resolvemos r=0 ou r^{2}-12r+36=0.

Passo 4

Determinamos as raízes do quadrático:
r^{2}-12r+36=(r-6)^{2},
portanto o quadrático tem raiz dupla r=6 (multiplicidade 2). Assim as raízes da equação característica são
r=0\quad\text{e}\quad r=6\\ (\text{multiplicidade }2).

Passo 5

Regra importante (explicação didática): se uma raiz r da equação característica tem multiplicidade m, então as soluções associadas são
e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\;\dots,\; x^{m-1}e^{rx}.
No nosso caso, para r=0 (multiplicidade 1) a solução é e^{0x}=1 (uma constante). Para r=6 (multiplicidade 2) as soluções são e^{6x} e x e^{6x}. Portanto a solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes:
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{6x}+C_{3}x e^{6x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Comparando com as opções dadas, a expressão encontrada coincide com a opção A.

Resposta

A

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