Determine a solução geral da equação diferencial:
(y-y x) y^prime=(y+1)^2
onde y^prime=d yd x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
(y - yx) cdot dydx = (y + 1)^2
Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e um pouco de álgebra para rearranjar os termos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a manipulação. Observa que no lado esquerdo temos $ y - yx $, que pode ser fatorado:
y - yx
Isso nos ajuda a ver melhor como separar as variáveis.

Passo 3

Nosso objetivo é separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da equação. Para isso, vamos dividir ambos os lados por $ y(1 - x) $:
y
Agora, podemos reorganizar para deixar tudo com $ y $ de um lado e $ x $ do outro.

Passo 4

Rearranjando a equação:
y(1 - x) cdot dy(y + 1)^2 = dx
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ x $, preparando para a integração.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo em relação a $ y $ e o lado direito em relação a $ x $:
y
Agora, precisamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Começando pela integral à esquerda:
integral y(y + 1)^2 dy
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = y + 1 $, então $ du = dy $ e $ y = u - 1 $. Substituindo:
u = y + 1
Voltando para $ y $:
du = dy

Passo 7

Agora, a integral à direita:
integral 11 - x dx = -ln|1 - x| + C

Passo 8

Igualando as duas integrais:
ln|y + 1| + 1y + 1 = -ln|1 - x| + C
Podemos simplificar e resolver para $ y $ em função de $ x $, dependendo do contexto, mas geralmente essa expressão já representa a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln|y + 1| + 1y + 1 = -ln|1 - x| + C
onde $ C $ é a constante de integração.

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