Determine a solução geral da equação diferencial:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e um pouco de álgebra para rearranjar os termos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a manipulação. Observa que no lado esquerdo temos $ y - yx $, que pode ser fatorado:
Isso nos ajuda a ver melhor como separar as variáveis.
Passo 3
Nosso objetivo é separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da equação. Para isso, vamos dividir ambos os lados por $ y(1 - x) $:
Agora, podemos reorganizar para deixar tudo com $ y $ de um lado e $ x $ do outro.
Passo 4
Rearranjando a equação:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ x $, preparando para a integração.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo em relação a $ y $ e o lado direito em relação a $ x $:
Agora, precisamos resolver cada integral separadamente.
Passo 6
Começando pela integral à esquerda:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = y + 1 $, então $ du = dy $ e $ y = u - 1 $. Substituindo:
Voltando para $ y $:
Passo 7
Agora, a integral à direita:
Passo 8
Igualando as duas integrais:
Podemos simplificar e resolver para $ y $ em função de $ x $, dependendo do contexto, mas geralmente essa expressão já representa a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é a constante de integração.