Determine a solução geral da equação de Ricatti
em que
é uma solução particular. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da equação de Riccati
. O conteúdo envolve equações diferenciais, especificamente a equação de Riccati. Para resolver isso, vamos precisar usar a solução particular que já foi dada:
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação de Riccati. É uma equação diferencial não linear da forma
. No nosso caso, temos:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Sabemos que uma equação de Riccati pode ser transformada em uma equação linear se conhecermos uma solução particular
. Vamos usar essa solução para facilitar nossa vida. A ideia é fazer uma substituição que simplifique a equação.
Passo 4
Vamos definir uma nova função
tal que:
Substituindo
na expressão acima, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação original. Primeiro, calculamos
:
Substituindo na equação de Riccati:
Isso vai simplificar bastante, e vamos acabar com uma equação linear em
.
Passo 6
Após simplificar toda a expressão, conseguimos uma equação diferencial linear para
. Resolvendo essa equação, encontramos
em termos de
. A solução geral fica então:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati dada é: