Determine a solução geral da equação de Ricatti d/y = y^2 - (1/x) y + 1 - 1/(4 x^2) em que y_p = 1/(2 x) + tg(x) é uma solução particular. Resp.: y = 1/(2 x) + (c sen x + cos x) / (c cos x - sen x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da equação de Riccati . O conteúdo envolve equações diferenciais, especificamente a equação de Riccati. Para resolver isso, vamos precisar usar a solução particular que já foi dada: .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação de Riccati. É uma equação diferencial não linear da forma . No nosso caso, temos:
Aqui, , e .

Passo 3

Sabemos que uma equação de Riccati pode ser transformada em uma equação linear se conhecermos uma solução particular . Vamos usar essa solução para facilitar nossa vida. A ideia é fazer uma substituição que simplifique a equação.

Passo 4

Vamos definir uma nova função tal que:
Substituindo na expressão acima, temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir e na equação original. Primeiro, calculamos :
Substituindo na equação de Riccati:
Isso vai simplificar bastante, e vamos acabar com uma equação linear em .

Passo 6

Após simplificar toda a expressão, conseguimos uma equação diferencial linear para . Resolvendo essa equação, encontramos em termos de . A solução geral fica então:
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação de Riccati dada é:

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