Seja P o único número natural que é primo e par. Sendo f(x) = (0.25)^(-x) + x + 1 determine o valor de f(P).

Passo 1

Vamos resolver um exercício que combina conceitos de números primos e funções matemáticas. Precisamos identificar o único número natural que é primo e par, e depois calcular o valor de uma função específica nesse número. Para isso, vamos usar conhecimentos de teoria dos números e manipulação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar qual é o único número natural que é primo e par. Sabemos que um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Os números pares são aqueles que são divisíveis por 2. O único número que atende a essas duas condições é o número 2, porque:
  • 2 é divisível apenas por 1 e por 2.
  • É o único número par que é primo.
Portanto, P = 2.

Passo 3

Agora que sabemos que P = 2, vamos calcular o valor da função quando .
Primeiro, substituímos por 2 na função:

Passo 4

Vamos simplificar a parte da função que envolve a potência. A expressão pode ser reescrita usando a regra dos expoentes negativos, que diz que . Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos o valor simplificado de de volta na função:

Passo 6

Somando os valores:

Resposta

O valor de é 19.

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