Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=e^{x} y^{2}$$
Res.: 
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A questão pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como tratar equações de Bernoulli, que têm a forma geral:
No nosso caso, 
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Para equações de Bernoulli, usamos a substituição:
Aqui, 
Agora, precisamos encontrar a derivada de 
Passo 3
Reorganizando a derivada de 
Agora, substituímos 
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por 
Mas sabemos que 
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais familiar:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante 
Multiplicando toda a equação por 
Simplificando o lado direito:
Passo 6
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto 
Integrando ambos os lados em relação a 
Onde 
Passo 7
Agora, resolvemos para 
Lembrando que 
Finalmente, resolvendo para 
Resposta
A solução geral da equação é:
