Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo de Bernoulli que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação geralmente envolve uma transformação para torná-la linear. Vamos precisar usar técnicas de equações lineares e substituições para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 
Passo 3
Agora, observamos que 
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a equação linear. Seja 
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 5
O fator integrante 
Multiplicamos toda a equação por 
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Seja 
Passo 7
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Onde 
Passo 8
Voltando à equação original:
Dividindo ambos os lados por 
Passo 9
Lembrando que 
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
