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Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Passo 1
Beleza, galera! Temos aqui uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli. O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares, especificamente a substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma geral da Equação de Bernoulli:
No nosso caso, 
Passo 3
Fazemos a substituição 
Agora, vamos derivar 
Passo 4
Substituímos 
Então:
Como 
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em 
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante 
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Para resolver a integral 
Portanto:
Passo 8
Dividimos ambos os lados por 
Lembrando que 
Resposta
A solução geral da equação é:
