Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 : 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: 
 . Para isso, precisamos entender como encontrar a solução geral dessas equações usando a teoria de equações características.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica associada à equação de diferença. Isso é feito substituindo 
  por 
 , onde 
  é uma constante que vamos descobrir. Então, a equação fica:
Dividindo todos os termos por 
  (assumindo 
 ), temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática 
  para encontrar os valores de 
 . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são 
  e 
 .
Passo 4
Como as raízes são complexas e conjugadas, a solução geral da equação de diferença vai envolver funções exponenciais e seno/cosseno. A fórmula geral para essas raízes é:
Onde 
  e 
  são constantes que determinaremos com condições iniciais. Substituindo 
  e 
 , temos:
Passo 5
Para simplificar, podemos expressar 
  em termos de exponenciais usando a fórmula de De Moivre. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de 
 :
Então,
E similarmente,
Passo 6
Substituindo de volta na solução geral:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Para que 
  seja real, 
  e 
  devem ser complexos conjugados ou ajustados de forma que os termos imaginários se cancelem. Geralmente, redefinimos as constantes para incorporar isso.
Passo 7
Finalizando, a solução geral real da equação de diferença é:
Onde 
  e 
  são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação é 
 , onde 
  e 
  são constantes.