Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=e^{2 x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y''-4y'+5y = e^{2x}\cos x.
Informações dadas:
\text{Equação: } y''-4y'+5y = e^{2x}\cos x.çã
Não há condições iniciais, então queremos a solução geral y(x) que é a soma da solução geral da equação complementar (homogênea) e de uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Decidimos o método: por ser uma equação linear com coeficientes constantes e termo fonte do tipo exponencial multiplicado por cosseno, o método das coeficientes indeterminados é apropriado. Vou resumir a ideia: primeiro resolvemos a homogênea associada para encontrar a solução complementar y_c. Depois escolhemos um palpite (ansatz) para uma solução particular y_p com coeficientes desconhecidos e os determinamos substituindo na equação. Atenção especial: se o palpite for solução da homogênea (ressonância), multiplicamos por x o palpite. Vou mostrar tudo detalhadamente.

Passo 3

Resolvendo a homogênea associada:
y''-4y'+5y=0.
Assumimos solução exponencial y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-4r+5=0.
Resolvendo a quadrática:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i.
Como as raízes são complexas conjuntas 2\pm i, a solução geral da homogênea é
y_{c}(x) = e^{2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} para a parte não homogênea e^{2x}\cos x.
Observação importante (ressonância): o termo forçante e^{2x}\cos x tem exatamente a mesma forma das funções que aparecem em y_c (pois e^{2x}\cos x está no espaço gerado por y_c). Quando isso acontece, um palpite do tipo e^{2x}(A\cos x + B\sin x) seria solução da homogênea e não funcionaria. A regra é multiplicar por x uma vez (multiplicidade 1 aqui), então tomamos o ansatz
y_{p}(x) = x e^{2x}\big(A\cos x + B\sin x\big),
onde A e B são constantes a determinar. Vou agora derivar y_p e calcular y_p''-4y_p'+5y_p.

Passo 5

Calculemos passo a passo as derivadas usando regra do produto. Defino para simplificar:
v(x)=e^{2x}\big(A\cos x + B\sin x\big),\qquad y_p(x)=x\,v(x).
Primeira derivada:
usando \big(xv\big)'=v + x v',
v'(x)=e^{2x}\big(-A\sin x + B\cos x\big) + 2e^{2x}\big(A\cos x + B\sin x\big).
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
v'(x)=e^{2x}\Big((2A+B)\cos x + (-A+2B)\sin x\Big).
Portanto
y_p'(x)=v(x) + x v'(x) = e^{2x}\big(A\cos x + B\sin x\big) + x e^{2x}\Big((2A+B)\cos x + (-A+2B)\sin x\Big).

Passo 6

Agora a segunda derivada. Derivamos y_p' = w_1 + w_2 com w_1=e^{2x}(A\cos x + B\sin x) e w_2 = x e^{2x}\big((2A+B)\cos x + (-A+2B)\sin x\big).
Primeiro w_1' (já calculado antes como v'):
w_1'(x)=e^{2x}\Big((2A+B)\cos x + (-A+2B)\sin x\Big).
Agora w_2'. Denotando C=2A+B e D=-A+2B para clareza, temos w_2(x)=x e^{2x}(C\cos x + D\sin x). Então
w_2'(x)=e^{2x}(C\cos x + D\sin x) + x e^{2x}\Big((2C+D)\cos x + (-C+2D)\sin x\Big),
usando a mesma rotina (derivada do produto).
Somando,
y_p''(x)=w_1'(x)+w_2'(x)=2e^{2x}(C\cos x + D\sin x) + x e^{2x}\Big((2C+D)\cos x + (-C+2D)\sin x\Big).

Passo 7

Substituamos C e D pelos seus valores em termos de A,B:
C=2A+B,\qquad D=-A+2B.
Vamos agora formar a combinação
L[y_p]:=y_p''-4y_p'+5y_p,
organizando termos em duas partes: termos multiplicados por x e^{2x} e termos multiplicados por e^{2x} sem x.
Do passo anterior temos
y_p'' = 2e^{2x}(C\cos x + D\sin x) + x e^{2x}\Big((2C+D)\cos x + (-C+2D)\sin x\Big),
y_p' = e^{2x}(A\cos x + B\sin x) + x e^{2x}(C\cos x + D\sin x),
y_p = x e^{2x}(A\cos x + B\sin x).
Então
L[y_p] = \underbrace{2e^{2x}(C\cos x + D\sin x) -4e^{2x}(A\cos x + B\sin x)}_{\text{termos sem }x}
\quad +\; x e^{2x}\Big(\underbrace{(2C+D) -4C +5A}_{\text{coef. de }\cos}\cos x + \underbrace{(-C+2D)-4D+5B}_{\text{coef. de }\sin}\sin x\Big).

Passo 8

Agora simplificamos os coeficientes usando C=2A+B e D=-A+2B.
Primeiro os coeficientes dos termos com x:
Calcule o coeficiente de \cos x:
(2C+D)-4C+5A = -2C + D +5A.
Substituindo C e D:
-2(2A+B) + (-A+2B) +5A = -4A -2B -A +2B +5A = 0.
Agora o coeficiente de \sin x:
(-C+2D)-4D+5B = -C -2D +5B.
Substituindo:
-(2A+B) -2(-A+2B) +5B = -2A -B +2A -4B +5B = 0.
Portanto todos os termos com x e^{2x} se cancelam — isso era esperado por causa da escolha x na multiplicação (vem da ressonância).
Agora os termos sem x:
o coeficiente de \cos x é
2C -4A = 2(2A+B) -4A = 2B.
o coeficiente de \sin x é
2D -4B = 2(-A+2B) -4B = -2A.
Logo a expressão final é
L[y_p] = e^{2x}\big(2B\cos x -2A\sin x\big).

Passo 9

Impondo que L[y_p] deve ser igual ao lado direito e^{2x}\cos x, igualamos coeficientes das funções independentes \cos x e \sin x:
e^{2x}\big(2B\cos x -2A\sin x\big) = e^{2x}\cos x.
Portanto
2B = 1,\qquad -2A = 0.
Assim
A = 0,\qquad B = \tfrac{1}{2}.

Passo 10

Substituindo A e B no ansatz, obtemos a solução particular
y_p(x) = x e^{2x}\Big(0\cdot\cos x + \tfrac{1}{2}\sin x\Big) = \tfrac{1}{2}x e^{2x}\sin x.

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução complementar e da particular:
y(x) = y_c(x) + y_p(x) = e^{2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big) + \tfrac{1}{2}x e^{2x}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=e^{2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big) + \tfrac{1}{2}x e^{2x}\sin x

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