Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
Informações dadas:
- A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
.
O que é pedido: - Determinar a solução geral
que satisfaça a equação para todo .
Passo 2
Primeiro passo técnico: resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Isso é padrão: a solução geral de uma equação linear não homogênea é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não homogênea.
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Para resolver, assumimos uma solução do tipo exponencial
. Substituindo, obtemos a equação característica
Resolvendo:
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Vou explicar o método de coeficientes indeterminados, que é apropriado quando o forçamento é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos.
Regra básica: se o termo do lado direito for (com
polinômio), tentamos uma
do mesmo tipo, i.e., polinômio de mesma ordem vezes
. Mas atenção à ressonância: se
já aparece na solução homogênea (ou seja,
é raiz da equação característica), multiplicamos a tentativa por
, onde
é a multiplicidade de
como raiz.
No nosso caso o forçamento é . Isso é da forma constante vezes
. Observe que
aparece em
(porque
é raiz simples). Portanto há ressonância de multiplicidade
e devemos multiplicar por
.
Assim tomamos a tentativa simples
Regra básica: se o termo do lado direito for
No nosso caso o forçamento é
Assim tomamos a tentativa simples
onde
é uma constante a determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
. Usei a regra do produto e a derivada de
que é
.
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Para ficar claro: derivatei
(que dá
) multiplicado por
, e depois
vezes a derivada de
(que é
).
Passo 5
Segunda derivada: derivamos
.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
usa produto novamente: .
Somando:
Expliquei passo a passo para você poder reproduzir sem erro na prova.
Passo 6
Agora substituímos
e
na expressão
para encontrar
.
Temos
Temos
Colocando em evidência
:
Passo 7
Esse resultado deve ser igual ao lado direito da equação, que é
. Então
Cancelamos
(que é nunca zero) e obtemos
Portanto a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Substituindo as expressões que encontramos, obtemos a solução geral explicitamente.