Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
y^{\prime \prime}-y=4 e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' - y = 4e^{-x}.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é 4e^{-x}.
    O que é pedido:
  • Determinar a solução geral y(x) que satisfaça a equação para todo x.

Passo 2

Primeiro passo técnico: resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Isso é padrão: a solução geral de uma equação linear não homogênea é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não homogênea.
A equação homogênea é
y'' - y = 0.
Para resolver, assumimos uma solução do tipo exponencial y=e^{rx}. Substituindo, obtemos a equação característica
r^2 - 1 = 0.
Resolvendo:
r^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad r = 1 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação completa. Vou explicar o método de coeficientes indeterminados, que é apropriado quando o forçamento é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos.
Regra básica: se o termo do lado direito for P(x)e^{\alpha x} (com P polinômio), tentamos uma y_p do mesmo tipo, i.e., polinômio de mesma ordem vezes e^{\alpha x}. Mas atenção à ressonância: se e^{\alpha x} já aparece na solução homogênea (ou seja, \alpha é raiz da equação característica), multiplicamos a tentativa por x^s, onde s é a multiplicidade de \alpha como raiz.
No nosso caso o forçamento é 4e^{-x}. Isso é da forma constante vezes e^{-x}. Observe que e^{-x} aparece em y_h (porque r=-1 é raiz simples). Portanto há ressonância de multiplicidade 1 e devemos multiplicar por x.
Assim tomamos a tentativa simples
y_p(x) = A x e^{-x},
onde A é uma constante a determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de y_p. Usei a regra do produto e a derivada de e^{-x} que é -e^{-x}.
Primeira derivada:
y_p(x) = A x e^{-x}
y_p'(x) = A\cdot 1\cdot e^{-x} + A x \cdot (-e^{-x}) = A e^{-x} - A x e^{-x}.
Para ficar claro: derivatei x (que dá 1) multiplicado por A e^{-x}, e depois x vezes a derivada de A e^{-x} (que é -A e^{-x}).

Passo 5

Segunda derivada: derivamos y_p'.
y_p'(x) = A e^{-x} - A x e^{-x}.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de A e^{-x} é -A e^{-x}.
  • Derivada de -A x e^{-x} usa produto novamente: -A)\cdot(1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x})) = -A e^{-x} + A x e^{-x}.
    Somando:
y_p''(x) = -A e^{-x} + \big(-A e^{-x} + A x e^{-x}\big) = A e^{-x}(x - 2).
Expliquei passo a passo para você poder reproduzir sem erro na prova.

Passo 6

Agora substituímos y_p e y_p'' na expressão y'' - y para encontrar A.
Temos
y_p'' - y_p = A e^{-x}(x - 2) - A x e^{-x}.
Colocando em evidência A e^{-x}:
y_p'' - y_p = A e^{-x}\big(x - 2 - x\big) = A e^{-x}(-2) = -2A e^{-x}.

Passo 7

Esse resultado deve ser igual ao lado direito da equação, que é 4e^{-x}. Então
-2A e^{-x} = 4 e^{-x}.
Cancelamos e^{-x} (que é nunca zero) e obtemos
-2A = 4 \quad\Rightarrow\quad A = -2.
Portanto a solução particular é
y_p(x) = -2x e^{-x}.

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x).
Substituindo as expressões que encontramos, obtemos a solução geral explicitamente.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-2x e^{-x}

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