Encontre a solução geral das seguintes equações homogêneas de segunda ordem.
y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+36 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
y'' + 12y' + 36y = 0
e pede a solução geral y(x). Informações fornecidas que usamos: coeficientes constantes 1 (de y''), 12 (de y') e 36 (de y); é uma equação linear homogênea de ordem 2. A resolução começa a seguir a partir daqui.

Passo 2

Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Raciocínio: ao derivar e^{rx} aparece o fator r, então essa escolha transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Calculando as derivadas:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação dada e dividindo por e^{rx} (que não é zero), obtemos a equação característica:
r^2 + 12r + 36 = 0.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática característica. Podemos usar a fórmula de Bhaskara; o discriminante é
\Delta = 12^2 - 4\cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0.
Como \Delta=0, há uma raiz dupla. Aplicando a fórmula:
r = \frac{-12}{2\cdot 1} = -6.
Logo r=-6 é raiz de multiplicidade 2.

Passo 4

Teoria necessária (explicada): para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes distintas r_1,r_2 então a solução geral é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}. Quando a raiz é dupla, r_1=r_2=r, a segunda solução independente não é e^{rx} novamente (pois seria dependente linearmente), mas sim x e^{rx}. Assim a forma geral para raiz dupla é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{r x}.
Aqui r=-6, então a fórmula prevê
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-6x},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 5

Verificação direta (para aprendizado): mostro que y_2(x)=x e^{-6x} é solução independente de y_1(x)=e^{-6x}. Calculemos derivadas de y_2:
y_2 = x e^{-6x},
y_2' = e^{-6x} -6x e^{-6x} = e^{-6x}(1-6x),
y_2'' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-6x}(1-6x)\bigr) = e^{-6x}(36x-12).
Substituindo na equação:
y_2'' + 12 y_2' + 36 y_2 = e^{-6x}(36x-12) + 12 e^{-6x}(1-6x) + 36 x e^{-6x}.
Fatorando e^{-6x} e simplificando os termos internos:
36x-12 + 12(1-6x) + 36x = 36x-12 +12 -72x +36x = 0.
Portanto y_2 satisfaz a equação; como y_1 e y_2 são linearmente independentes, a combinação linear com constantes arbitrary dá a solução geral.

Passo 6

Conclusão: a solução geral da equação diferencial é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-6x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias reais.

Resposta

y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-6x}

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