Encontre a solução geral das seguintes equações homogêneas de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
e pede a solução geral
. Informações fornecidas que usamos: coeficientes constantes
(de
),
(de
) e
(de
); é uma equação linear homogênea de ordem
. A resolução começa a seguir a partir daqui.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
. Raciocínio: ao derivar
aparece o fator
, então essa escolha transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação dada e dividindo por
(que não é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática característica. Podemos usar a fórmula de Bhaskara; o discriminante é
Como
, há uma raiz dupla. Aplicando a fórmula:
Logo
é raiz de multiplicidade
.
Passo 4
Teoria necessária (explicada): para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes distintas
então a solução geral é
. Quando a raiz é dupla,
, a segunda solução independente não é
novamente (pois seria dependente linearmente), mas sim
. Assim a forma geral para raiz dupla é
Aqui
, então a fórmula prevê
com
constantes arbitrárias.
Passo 5
Verificação direta (para aprendizado): mostro que
é solução independente de
. Calculemos derivadas de
:
Substituindo na equação:
Fatorando
e simplificando os termos internos:
Portanto
satisfaz a equação; como
e
são linearmente independentes, a combinação linear com constantes arbitrary dá a solução geral.
Passo 6
Conclusão: a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias reais.