Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
y^{\prime \prime}+8 y=1+x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' + 8y = 1 + x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação é de ordem 2.
  • Os coeficientes são constantes (o coeficiente de y é 8).
  • O termo não homogêneo (forçante) é o polinômio 1+x, isto é, um polinômio de grau \,1.
  • Não foram dadas condições iniciais; queremos, portanto, a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y'' + 8y = 0.
Método: usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} e obtemos
r^2 + 8 = 0.
As raízes são
r = \pm i\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\,i.
Quando as raízes são complexas conjugadas r=\pm i\omega (aqui \omega=2\sqrt{2}), a solução geral da homogênea é dada pelas combinações lineares das funções \cos(\omega x) e \sin(\omega x). Portanto a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1\cos\bigl(2\sqrt{2}\,x\bigr) + C_2\sin\bigl(2\sqrt{2}\,x\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
(Explicação didática curta: as exponenciais e^{\pm i\omega x} são soluções complexas; tomando combinações reais obtemos \cos e \sin.)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa
y'' + 8y = 1 + x.
Escolha do método: método dos coeficientes indeterminados. Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau n, tentamos uma solução particular também polinomial de grau n, a menos que haja “ressonância” com a solução homogênea (isto é, se algum termo polinomial já estivesse entre as soluções homogêneas). Aqui a homogênea é oscilatória ( \cos, \sin), sem polinômios, então não há ressonância. Como o lado direito tem grau 1, tentamos
y_p(x)=Ax+B,
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(x)=A,\qquad y_p''(x)=0.
Substituímos na equação:
y_p'' + 8y_p = 0 + 8(Ax+B) = 8Ax + 8B.
Devemos ter
8Ax + 8B = 1 + x.
Igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e termo constante) obtemos o sistema
\begin{cases} 8A = 1,\\[4pt] 8B = 1. \end{cases}
Resolvendo:
A=\tfrac{1}{8},\qquad B=\tfrac{1}{8}.
Logo
y_p(x)=\tfrac{1}{8}x + \tfrac{1}{8}.]

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).
Substituindo y_h e y_p encontrados:
y(x)=C_1\cos\bigl(2\sqrt{2}\,x\bigr) + C_2\sin\bigl(2\sqrt{2}\,x\bigr) + \tfrac{1}{8}x + \tfrac{1}{8},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1\cos\bigl(2\sqrt{2}\,x\bigr)+C_2\sin\bigl(2\sqrt{2}\,x\bigr)+\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{8}

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