Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação é de ordem
. - Os coeficientes são constantes (o coeficiente de
é ). - O termo não homogêneo (forçante) é o polinômio
, isto é, um polinômio de grau . - Não foram dadas condições iniciais; queremos, portanto, a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Método: usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos
As raízes são
Quando as raízes são complexas conjugadas
(aqui
), a solução geral da homogênea é dada pelas combinações lineares das funções
e
. Portanto a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
(Explicação didática curta: as exponenciais
são soluções complexas; tomando combinações reais obtemos
e
.)
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
Escolha do método: método dos coeficientes indeterminados. Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau
, tentamos uma solução particular também polinomial de grau
, a menos que haja “ressonância” com a solução homogênea (isto é, se algum termo polinomial já estivesse entre as soluções homogêneas). Aqui a homogênea é oscilatória (
,
), sem polinômios, então não há ressonância. Como o lado direito tem grau
, tentamos
com
e
constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação:
Devemos ter
Igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante) obtemos o sistema
Resolvendo:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Substituindo
e
encontrados:
onde
e
são constantes arbitrárias.