Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
y^{\prime \prime}-8 y=(1+x) e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y''-8y=(1+x)e^{2x},
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes que temos:
\begin{aligned} &\text{Equação: } y''-8y=(1+x)e^{2x}.\\\ &\text{A incógnita é a função } y(x).\\\ &\text{O termo não homogêneo é }(1+x)e^{2x},\text{ que é um polinômio de grau 1 multiplicado por }e^{2x}. \end{aligned}çãóéçããêééô

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-8y=0.
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^{2}-8=0.
Resolvendo,
r=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}.
Portanto a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{h}(x)=C_{1}e^{2\sqrt{2}\,x}+C_{2}e^{-2\sqrt{2}\,x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando rápido: para equações lineares com coeficientes constantes, testamos soluções do tipo e^{rx}; as raízes da característica dão os expoentes.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 multiplicado por e^{2x}, e r=2 NÃO é raiz da equação característica (os únicos r são \pm 2\sqrt{2}), podemos usar o método dos coeficientes indeterminados com o palpite
y_{p}(x)=(Ax+B)e^{2x},
onde A e B são constantes a determinar. Raciocínio: se o RHS fosse P(x)e^{\alpha x} e \alpha não fosse raiz característica, tentamos Q(x)e^{\alpha x} com Q polinômio de mesmo grau que P.

Passo 4

Calculamos y_{p}' aplicando a regra do produto. Seja u(x)=Ax+B e v(x)=e^{2x}. Então u'(x)=A e v'(x)=2e^{2x}. Assim
y_{p}'=u'v+uv'=\bigl(A\bigr)e^{2x} + (Ax+B)\cdot 2e^{2x}.
Agrupando termos polinomiais em x,
y_{p}'=\bigl(2A x + (A+2B)\bigr)e^{2x}.

Passo 5

Agora derivamos novamente para obter y_{p}''. Seja p(x)=2A x + (A+2B). Temos p'(x)=2A. Usando regra do produto:
y_{p}''=p' e^{2x} + p\cdot 2 e^{2x} = \bigl(2A + 2(2A x + A+2B)\bigr)e^{2x}.
Simplificando:
y_{p}''=\bigl(4A x + (4A+4B)\bigr)e^{2x}.

Passo 6

Substituímos y_{p} e y_{p}'' na equação y''-8y=(1+x)e^{2x}. Calculamos y_{p}''-8y_{p}:
\begin{aligned} y_{p}''-8y_{p} &=\bigl(4A x + (4A+4B)\bigr)e^{2x} -8\bigl(Ax+B\bigr)e^{2x}\\\ &=\bigl(4A x + 4A+4B -8A x -8B\bigr)e^{2x}\\\ &=\bigl((-4A)x + (4A-4B)\bigr)e^{2x}. \end{aligned}
Isso deve ser igual ao lado direito (1+x)e^{2x}=\bigl(1\cdot x + 1\bigr)e^{2x}. Igualando coeficientes do polinômio em x:
\begin{cases} -4A = 1,\\[4pt] 4A-4B = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem
A=-\frac{1}{4}.
Substituindo na segunda:
4\left(-\frac{1}{4}\right)-4B=1 \quad\Rightarrow\quad -1-4B=1 \quad\Rightarrow\quad -4B=2 \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{2}.]

Passo 7

Com A=-\dfrac{1}{4} e B=-\dfrac{1}{2}, a solução particular é
y_{p}(x)=\left(-\tfrac{1}{4}x-\tfrac{1}{2}\right)e^{2x}.

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2\sqrt{2}\,x}+C_{2}e^{-2\sqrt{2}\,x}+\left(-\tfrac{1}{4}x-\tfrac{1}{2}\right)e^{2x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias. Se quiser checar, basta derivar essa expressão e verificar que satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2\sqrt{2}\,x}+C_{2}e^{-2\sqrt{2}\,x}+\left(-\tfrac{1}{4}x-\tfrac{1}{2}\right)e^{2x}

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