Determine a solução geral das equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
e pede a solução geral
. Informações relevantes que temos:
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo,
Portanto a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando rápido: para equações lineares com coeficientes constantes, testamos soluções do tipo
; as raízes da característica dão os expoentes.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 multiplicado por
, e
NÃO é raiz da equação característica (os únicos
são
), podemos usar o método dos coeficientes indeterminados com o palpite
onde
e
são constantes a determinar. Raciocínio: se o RHS fosse
e
não fosse raiz característica, tentamos
com
polinômio de mesmo grau que
.
Passo 4
Calculamos
aplicando a regra do produto. Seja
e
. Então
e
. Assim
Agrupando termos polinomiais em
,
Passo 5
Agora derivamos novamente para obter
. Seja
. Temos
. Usando regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Substituímos
e
na equação
. Calculamos
:
Isso deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes do polinômio em
:
Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Passo 7
Com
e
, a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias. Se quiser checar, basta derivar essa expressão e verificar que satisfaz a equação original.