Determine a solução geral das equações:
\frac{d^{5} y}{d x^{5}}+2 \frac{d^{3} y}{d x^{5}}+\frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear homogênea
\frac{d^{5}y}{dx^{5}} + 2\frac{d^{3}y}{dx^{3}} + \frac{dy}{dx} = 0.
Vamos usar o método do polinômio característico para equações com coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo na equação, obtém-se o polinômio característico
r^{5} + 2r^{3} + r = 0.

Passo 3

Fatorando o polinômio, temos
r\bigl(r^{4} + 2r^{2} + 1\bigr) \;=\; r\,(r^{2}+1)^{2} \;=\;0.
Portanto as raízes são \;r=0\; (multiplicidade 1) e \;r=\pm i\; (cada uma com multiplicidade 2).

Passo 4

A partir das raízes, a solução geral no domínio complexo é
y(x) = C_{1}e^{0x} + C_{2}e^{ix} + C_{3}\,x\,e^{ix} + C_{4}e^{-ix} + C_{5}\,x\,e^{-ix}.

Passo 5

Aplicando as fórmulas de Euler
\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\quad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
vemos que uma base real de soluções é
1,\;\cos x,\;\sin x,\;x\cos x,\;x\sin x.
Logo, a solução geral é a combinação linear dessas cinco funções.

Resposta

y(x) = A_{1} + A_{2}\cos x + A_{3}\sin x + A_{4}\,x\cos x + A_{5}\,x\sin x.

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