Determine a solução geral das equações:
y^{\prime \prime}-x f(x) y^{\prime}+f(x) y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - x\,f(x)\,y' + f(x)\,y = 0.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos encontrar uma solução particular simples por inspeção e depois usar o método de redução de ordem para obter a segunda solução.

Passo 2

Testamos y_1(x)=x. Calculamos
y_1' = 1,\qquad y_1''=0.
Substituindo na equação:
0 - x\,f(x)\cdot1 + f(x)\cdot x = -x\,f(x) + x\,f(x) = 0,
logo y_1(x)=x é de fato uma solução.

Passo 3

Para achar a segunda solução y_2, usamos a fórmula de redução de ordem. Num EDO
y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0
com uma solução conhecida y_1, tem-se
y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1^2}\,dx.
Aqui P(x) = -x\,f(x), então
-\int P(x)\,dx = -\int \bigl(-x\,f(x)\bigr)\,dx = \int x\,f(x)\,dx.

Passo 4

Substituindo y_1=x e o fator de normalização, obtemos
y_2(x) = x \int \frac{e^{\int x\,f(x)\,dx}}{x^2}\,dx.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1\,x + C_2\,x \int \frac{e^{\int x\,f(x)\,dx}}{x^2}\,dx,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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