Determine a solução geral das equações:
y^{\prime \prime}-f(x) y^{\prime}+(f(x)-1) y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis
y'' - f(x)\,y' + \bigl(f(x)-1\bigr)\,y = 0.
O conteúdo aqui é fatoração de operadores diferenciais e resolução de equações de primeira ordem. Para resolver, vamos (1) notar que dá para escrever a equação como produto de operadores em D=d/dx e introduzir uma função auxiliar, (2) resolver para essa função de ordem reduzida e (3) voltar para y.

Passo 2

Defina
u(x) = y'(x) - y(x).
Então
y' = u + y, \quad y'' = u' + y' = u' + u + y.
Substituindo em
y'' - f\,y' + (f-1)\,y = 0
vem
\bigl(u' + u + y\bigr) - f\,(u + y) + (f-1)\,y = 0 \;\Longrightarrow\; u' + u - f\,u = 0,
ou seja
u' + \bigl(1 - f(x)\bigr)\,u = 0.

Passo 3

A equação para u é de primeira ordem e separável:
\frac{u'}{u} = f(x) - 1 \quad\Longrightarrow\quad \ln|u| = \int\bigl(f(x)-1\bigr)\,dx + C_1 \quad\Longrightarrow\quad u(x) = C_1\,e^{\displaystyle\int\bigl(f(x)-1\bigr)\,dx}.

Passo 4

Voltando a y, temos agora
y' - y = u(x) = C_1\,e^{\displaystyle\int\bigl(f(x)-1\bigr)\,dx}.
Isso é uma equação linear de primeira ordem em y. O fator integrante é e^{-\int1\,dx}=e^{-x}, de modo que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = C_1\,e^{\displaystyle\int(f-1)\,dx}\,e^{-x} = C_1\,e^{\displaystyle\int f\,dx -2x}.
Integrando,
e^{-x}y = C_1\int e^{\displaystyle\int f(x)\,dx -2x}\,dx + C_2,
e portanto
y(x) = e^{x}\Biggl(C_2 + C_1\int e^{\displaystyle\int f(x)\,dx -2x}\,dx\Biggr).

Resposta

A solução geral da equação
y'' - f(x)\,y' + \bigl(f(x)-1\bigr)\,y = 0
é
\boxed{y(x) = e^{x}\Biggl(C_2 + C_1\int e^{\displaystyle\int f(x)\,dx -2x}\,dx\Biggr),}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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