Determine a solução geral das equações:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis
O conteúdo aqui é fatoração de operadores diferenciais e resolução de equações de primeira ordem. Para resolver, vamos (1) notar que dá para escrever a equação como produto de operadores em
e introduzir uma função auxiliar, (2) resolver para essa função de ordem reduzida e (3) voltar para
.
Passo 2
Defina
Então
Substituindo em
vem
ou seja
Passo 3
A equação para
é de primeira ordem e separável:
Passo 4
Voltando a
, temos agora
Isso é uma equação linear de primeira ordem em
. O fator integrante é
, de modo que
Integrando,
e portanto
Resposta
A solução geral da equação
é
onde
e
são constantes arbitrárias.