Determine a solução geral das equações de recorrência:
Passo 1
O problema pede: determinar a solução geral da recorrência
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- É uma recorrência linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O lado direito é a soma de duas parcelas: uma constante
e uma parcela do tipo polinomial vezes , especificamente . - Precisamos achar a solução geral
válida para todo (ou para a partir de algum índice natural), isto é, a solução da homogênea somada a uma particular da não-homogênea.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
Para recorrências lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos a equação característica:
Resolvendo essa quadrática: reconhece-se que é um quadrado perfeito,
portanto a raiz é
com multiplicidade
.
Quando a raiz
da característica tem multiplicidade
, a solução geral da homogênea tem a forma
onde
e
são constantes arbitrárias que serão ajustadas por condições iniciais (se dadas).
Passo 3
Escolher uma forma para a solução particular
da recorrência não-homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é soma de duas parcelas, vamos buscar uma solução particular como soma de duas soluções particulares, uma para cada parcela:
onde
atende ao termo
e
ao termo
.
Primeiro, para o termo constante
: tentamos uma solução particular constante
com
constante a determinar. Substituindo na recorrência:
logo
Portanto uma solução particular para o termo constante é
.
Passo 4
Agora tratamos o termo
. Aqui ocorre ressonância porque
é raiz da característica com multiplicidade
. A regra prática do método dos coeficientes indeterminados diz: se o termo não-homogêneo é da forma
, onde
é um polinômio de grau
, e
é raiz da característica de multiplicidade
, então tentamos uma
da forma
, onde
é polinômio de grau
com coeficientes a determinar.
No nosso caso
(grau
),
e
, então tentamos
com
sendo um polinômio de grau
. Para simplificar a escrita, podemos tomar
(termos de grau inferior serão automaticamente determinados; incluir termos com
e constante seria redundante porque o espaço de polinômios até grau 3 incluiria esses, mas nesse caso os coeficientes dos graus 1 e 0 vão aparecer zero — aqui optamos por a forma mínima que dá Δ² de grau 1; a conta abaixo dará os coeficientes corretos).
Para calcular os coeficientes convenientemente, é útil usar a propriedade do operador
(deslocamento): definindo
, a equação à esquerda é
. Para uma sequência da forma
vale a identidade (pode-se verificar por substituição):
onde
é a diferença progressiva
e
. Assim, aplicando o operador à nossa proposta:
Queremos que essa expressão seja igual ao termo
. Igualando:
Dividindo por
,
Portanto precisamos escolher
tal que
.
Passo 5
Calcular
para
e igualar aos termos de
.
Primeiro calcule
:
Subtraindo
obtemos
. Fazendo as contas:
Em seguida,
e assim
Agora igualamos essa expressão a
:
Comparando coeficientes do polinômio em
obtemos um sistema:
Da primeira equação
Da segunda
Portanto
Logo uma solução particular para o termo
é
Passo 6
Agora que encontramos:
- solução homogênea
, - solução particular para o termo constante
, - solução particular para o termo
, ,
a solução geral da recorrência é a soma da homogênea com as particulares. (Abaixo, na seção final, apresento a expressão completa.)