Determine a solução geral das equações de recorrência:
x_{n+2}-6 x_{n+1}+9 x_{n}=1+n 3^{n}

Passo 1

O problema pede: determinar a solução geral da recorrência
x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n = 1 + n\,3^{n}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • É uma recorrência linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O lado direito é a soma de duas parcelas: uma constante 1 e uma parcela do tipo polinomial vezes 3^{n}, especificamente n\,3^{n}.
  • Precisamos achar a solução geral x_n válida para todo n (ou para n a partir de algum índice natural), isto é, a solução da homogênea somada a uma particular da não-homogênea.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n = 0.
Para recorrências lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos x_n = r^n e obtemos a equação característica:
r^2 - 6r + 9 = 0.
Resolvendo essa quadrática: reconhece-se que é um quadrado perfeito,
r^2 - 6r + 9 = (r-3)^2 = 0,
portanto a raiz é r=3 com multiplicidade 2.
Quando a raiz r da característica tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea tem a forma
x_n^{(h)} = (C_1 + C_2 n)\,3^{n},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão ajustadas por condições iniciais (se dadas).

Passo 3

Escolher uma forma para a solução particular x_n^{(p)} da recorrência não-homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é soma de duas parcelas, vamos buscar uma solução particular como soma de duas soluções particulares, uma para cada parcela:
x_n^{(p)} = x_n^{(p,1)} + x_n^{(p,2)},
onde x_n^{(p,1)} atende ao termo 1 e x_n^{(p,2)} ao termo n\,3^{n}.
Primeiro, para o termo constante 1: tentamos uma solução particular constante
x_n^{(p,1)} = C,
com C constante a determinar. Substituindo na recorrência:
C - 6C + 9C = 1 \quad\Rightarrow\quad 4C = 1,
logo
C = \tfrac{1}{4}.
Portanto uma solução particular para o termo constante é x_n^{(p,1)} = \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Agora tratamos o termo n\,3^{n}. Aqui ocorre ressonância porque 3 é raiz da característica com multiplicidade 2. A regra prática do método dos coeficientes indeterminados diz: se o termo não-homogêneo é da forma P(n)\,r^{n}, onde P é um polinômio de grau d, e r é raiz da característica de multiplicidade m, então tentamos uma x_n^{(p)} da forma n^{m}\,Q(n)\,r^{n}, onde Q é polinômio de grau d com coeficientes a determinar.
No nosso caso P(n)=n (grau d=1), r=3 e m=2, então tentamos
x_n^{(p,2)} = 3^{n} q(n),
com q(n) sendo um polinômio de grau d+m = 1+2 = 3. Para simplificar a escrita, podemos tomar
q(n) = a n^{3} + b n^{2}
(termos de grau inferior serão automaticamente determinados; incluir termos com n e constante seria redundante porque o espaço de polinômios até grau 3 incluiria esses, mas nesse caso os coeficientes dos graus 1 e 0 vão aparecer zero — aqui optamos por a forma mínima que dá Δ² de grau 1; a conta abaixo dará os coeficientes corretos).
Para calcular os coeficientes convenientemente, é útil usar a propriedade do operador T (deslocamento): definindo (T x)_n = x_{n+1}, a equação à esquerda é (T^2 -6T +9)x_n = (T-3)^2 x_n. Para uma sequência da forma x_n = 3^{n} q(n) vale a identidade (pode-se verificar por substituição):
(T-3)^2[3^{n} q(n)] = 3^{n+2}\,\Delta^{2} q(n),
onde \Delta é a diferença progressiva \Delta q(n)=q(n+1)-q(n) e \Delta^{2}q(n)=\Delta(\Delta q(n)). Assim, aplicando o operador à nossa proposta:
x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n = 3^{n+2}\,\Delta^{2} q(n).
Queremos que essa expressão seja igual ao termo n\,3^{n}. Igualando:
3^{n+2}\,\Delta^{2} q(n) = n\,3^{n}.
Dividindo por 3^{n},
9\,\Delta^{2} q(n) = n.
Portanto precisamos escolher q(n) tal que \Delta^{2} q(n) = \tfrac{n}{9}.

Passo 5

Calcular \Delta^{2} q(n) para q(n)=a n^{3} + b n^{2} e igualar aos termos de \tfrac{n}{9}.
Primeiro calcule q(n+1):
q(n+1) = a(n+1)^{3} + b(n+1)^{2} = a(n^{3}+3n^{2}+3n+1) + b(n^{2}+2n+1).
Subtraindo q(n) obtemos \Delta q(n)=q(n+1)-q(n). Fazendo as contas:
\Delta q(n) = 3a n^{2} + (3a + 2b)n + (a + b).
Em seguida,
\Delta q(n+1) = 3a (n+1)^{2} + (3a + 2b)(n+1) + (a + b),
e assim
\Delta^{2} q(n) = \Delta q(n+1) - \Delta q(n) = 6a n + (6a + 2b).
Agora igualamos essa expressão a \tfrac{n}{9}:
6a n + (6a + 2b) = \frac{n}{9}.
Comparando coeficientes do polinômio em n obtemos um sistema:
6a = \frac{1}{9},\qquad 6a + 2b = 0.
Da primeira equação
a = \frac{1}{54}.
Da segunda
2b = -6a \quad\Rightarrow\quad b = -3a = -\frac{1}{18}.
Portanto
q(n) = \frac{1}{54}n^{3} - \frac{1}{18}n^{2}.
Logo uma solução particular para o termo n\,3^{n} é
x_n^{(p,2)} = 3^{n}\!\left(\frac{1}{54}n^{3} - \frac{1}{18}n^{2}\right).

Passo 6

Agora que encontramos:
  • solução homogênea x_n^{(h)} = (C_1 + C_2 n)3^{n},
  • solução particular para o termo constante x_n^{(p,1)} = \tfrac{1}{4},
  • solução particular para o termo n3^{n}, x_n^{(p,2)} = 3^{n}\!\left(\tfrac{1}{54}n^{3} - \tfrac{1}{18}n^{2}\right),
a solução geral da recorrência é a soma da homogênea com as particulares. (Abaixo, na seção final, apresento a expressão completa.)

Resposta

x_n = (C_1 + C_2 n)3^{n} + \frac{1}{4} + 3^{n}\!\left(\frac{1}{54}n^{3} - \frac{1}{18}n^{2}\right)

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