Determine a solução geral das equações de recorrência:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da recorrência
Informações dadas e o que precisamos obter:
- É uma recorrência linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é a soma de duas parcelas:
(um polinômio em de grau 1) e (uma exponencial). - Precisamos encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Explicação do método (característica): para recursões lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Calculando as raízes:
logo há uma raiz
de multiplicidade 2. Quando a raiz
tem multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são
e
. Portanto a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar por condições iniciais (se houvessem).
Passo 3
Procurar uma solução particular para o termo polinomial
.
Explicação do método (coeficientes não determinados para polinômios): se o lado direito é um polinômio em
de grau
, tentamos uma solução particular também polinomial de grau
. Aqui o termo é
(grau 1), então tentamos
com
constantes a determinar.
Calculemos as substituições:
Agora aplicamos o operador da recorrência:
Agrupando coeficientes de
e constantes:
Queremos isso igual a
. Assim
Comparando coeficientes:
Portanto
Passo 4
Procurar uma solução particular para o termo exponencial
.
Explicação do método (resonância): quando o termo não-homogêneo é da forma
e
é raiz da equação característica de multiplicidade
, devemos multiplicar o palpite polinomial por
. Aqui
é raiz de multiplicidade
e
é um polinômio constante (grau 0). Então tentamos
onde
é constante a determinar.
Agora calculamos as translações:
Aplicando o operador:
Fatorando
:
Calcule o polinômio interior:
Logo o todo vale
Queremos que isso seja igual a
. Portanto
Assim
Passo 5
Combinar as soluções particulares e a homogênea (linearidade): a solução particular total é soma das duas particulares encontradas:
A solução geral da recorrência é
Se preferir, agrupar os termos em
:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais (não fornecidas).