Determine a solução geral das equações de recorrência:
x_{n+2}-6 x_{n+1}+9 x_{n}=n-3^{n}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da recorrência
x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n = n - 3^{n}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • É uma recorrência linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é a soma de duas parcelas: n (um polinômio em n de grau 1) e -3^{n} (uma exponencial).
  • Precisamos encontrar a solução geral x_n, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n = 0.
Explicação do método (característica): para recursões lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma x_n = r^n. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2 - 6r + 9 = 0.
Calculando as raízes:
r^2-6r+9=(r-3)^2,
logo há uma raiz r=3 de multiplicidade 2. Quando a raiz r tem multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são 3^n e n3^n. Portanto a solução geral da parte homogênea é
x_n^{(h)} = (A + B n)\,3^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias a determinar por condições iniciais (se houvessem).

Passo 3

Procurar uma solução particular para o termo polinomial n.
Explicação do método (coeficientes não determinados para polinômios): se o lado direito é um polinômio em n de grau d, tentamos uma solução particular também polinomial de grau d. Aqui o termo é n (grau 1), então tentamos
x_n^{(p1)} = a n + b,
com a,b constantes a determinar.
Calculemos as substituições:
x_{n+1}^{(p1)} = a(n+1)+b = a n + a + b,
x_{n+2}^{(p1)} = a(n+2)+b = a n + 2a + b.
Agora aplicamos o operador da recorrência:
x_{n+2}^{(p1)} -6x_{n+1}^{(p1)} +9x_n^{(p1)} =
\bigl(a n + 2a + b\bigr) -6\bigl(a n + a + b\bigr) +9\bigl(a n + b\bigr).
Agrupando coeficientes de n e constantes:
(1-6+9)a\cdot n + \bigl(2a+b -6a -6b +9b\bigr) = 4a\,n + 4(b-a).
Queremos isso igual a n. Assim
4a\,n + 4(b-a) = 1\cdot n + 0.
Comparando coeficientes:
4a = 1 \implies a = \tfrac{1}{4},
4(b-a)=0 \implies b=a=\tfrac{1}{4}.
Portanto
x_n^{(p1)} = \frac{n+1}{4}.

Passo 4

Procurar uma solução particular para o termo exponencial -3^{n}.
Explicação do método (resonância): quando o termo não-homogêneo é da forma P(n)\,r^n e r é raiz da equação característica de multiplicidade k, devemos multiplicar o palpite polinomial por n^{k}. Aqui r=3 é raiz de multiplicidade 2 e P(n)=-1 é um polinômio constante (grau 0). Então tentamos
x_n^{(p2)} = C\,n^{2}\,3^{n},
onde C é constante a determinar.
Agora calculamos as translações:
x_{n+1}^{(p2)} = C (n+1)^{2} 3^{n+1} = 3C (n+1)^{2}3^{n},
x_{n+2}^{(p2)} = C (n+2)^{2} 3^{n+2} = 9C (n+2)^{2}3^{n}.
Aplicando o operador:
x_{n+2}^{(p2)} -6x_{n+1}^{(p2)} +9x_n^{(p2)} =
3^{n}\,C\bigl(9(n+2)^{2} -18(n+1)^{2} +9n^{2}\bigr).
Fatorando 9:
=9C\,3^{n}\bigl((n+2)^{2} -2(n+1)^{2} + n^{2}\bigr).
Calcule o polinômio interior:
(n+2)^{2} -2(n+1)^{2} + n^{2} = (n^{2}+4n+4) -2(n^{2}+2n+1) + n^{2} = 2.
Logo o todo vale
x_{n+2}^{(p2)} -6x_{n+1}^{(p2)} +9x_n^{(p2)} = 9C\cdot 2 \cdot 3^{n} = 18C\,3^{n}.
Queremos que isso seja igual a -3^{n}. Portanto
18C\,3^{n} = -3^{n} \implies 18C = -1 \implies C = -\tfrac{1}{18}.
Assim
x_n^{(p2)} = -\frac{1}{18}\,n^{2}\,3^{n}.

Passo 5

Combinar as soluções particulares e a homogênea (linearidade): a solução particular total é soma das duas particulares encontradas:
x_n^{(p)} = x_n^{(p1)} + x_n^{(p2)} = \frac{n+1}{4} - \frac{1}{18} n^{2} 3^{n}.
A solução geral da recorrência é
x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = (A + B n)\,3^{n} - \frac{1}{18} n^{2} 3^{n} + \frac{n+1}{4}.
Se preferir, agrupar os termos em 3^{n}:
x_n = \Bigl(A + B n - \frac{1}{18}n^{2}\Bigr)3^{n} + \frac{n+1}{4},
onde A e B são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais (não fornecidas).

Resposta

x_n = \Bigl(A + B n - \frac{1}{18}n^{2}\Bigr)3^{n} + \frac{n+1}{4}

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