Determine a solução geral das equações de recorrência:
.
Passo 1
O enunciado dá a recorrência
e pede a solução geral, isto é, a fórmula que fornece
para todo
sem impor condições iniciais. Informações relevantes: a relação vale para todo
(inteiro) e o termo do lado direito é a constante
. Não foram dados valores iniciais (como
ou
), então a solução terá constantes arbitrárias que seriam fixadas por essas condições iniciais.
Passo 2
Vamos primeiro estudar a recorrência homogênea associada, obtida zerando o termo independente:
Para resolver esse tipo usamos a técnica do polinômio característico: suponha uma solução da forma
. Substituindo na recorrência homogênea obtém-se a equação característica
Resolvendo essa equação obtemos as raízes complexas
Quando as raízes são complexas conjugadas
a solução geral real da homogênea pode ser escrita em termos de cosseno e seno. Aqui
e
, logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. (Explicação curta:
, combinação linear das duas raízes gera as partes reais que dão cosseno e seno.)
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular da recorrência não homogênea
Como o termo independente é constante, uma escolha natural é procurar uma solução particular constante
. Substituindo:
Portanto uma solução particular é
.
Passo 4
A solução geral da recorrência não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias a serem determinadas por condições iniciais, se houver.
Passo 5
Se forem fornecidos
e
, podemos obter
e
explicitamente. Avaliando a solução geral em
e
:
Daí
Substituindo de volta obtemos a forma conveniente com condições iniciais: