Determine a solução geral das equações de recorrência:
x_{n+2}+x_{n}=1.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência
x_{n+2}+x_{n}=1
e pede a solução geral, isto é, a fórmula que fornece x_{n} para todo n sem impor condições iniciais. Informações relevantes: a relação vale para todo n (inteiro) e o termo do lado direito é a constante 1. Não foram dados valores iniciais (como x_{0} ou x_{1}), então a solução terá constantes arbitrárias que seriam fixadas por essas condições iniciais.

Passo 2

Vamos primeiro estudar a recorrência homogênea associada, obtida zerando o termo independente:
x_{n+2}+x_{n}=0.
Para resolver esse tipo usamos a técnica do polinômio característico: suponha uma solução da forma x_{n}=r^{n}. Substituindo na recorrência homogênea obtém-se a equação característica
r^{2}+1=0.
Resolvendo essa equação obtemos as raízes complexas
r=\pm i.
Quando as raízes são complexas conjugadas r=e^{\pm i\theta} a solução geral real da homogênea pode ser escrita em termos de cosseno e seno. Aqui i=e^{i\pi/2} e -i=e^{-i\pi/2}, logo a solução homogênea é
x_{n}^{(h)}=A\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right)+B\sin\!\left(\frac{\pi n}{2}\right),
onde A e B são constantes reais arbitrárias. (Explicação curta: i^{n}=e^{i\pi n/2}=\cos(\pi n/2)+i\sin(\pi n/2), combinação linear das duas raízes gera as partes reais que dão cosseno e seno.)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da recorrência não homogênea
x_{n+2}+x_{n}=1.
Como o termo independente é constante, uma escolha natural é procurar uma solução particular constante x_{n}^{(p)}=c. Substituindo:
c+c=1 \quad\Rightarrow\quad 2c=1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{2}.
Portanto uma solução particular é x_{n}^{(p)}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

A solução geral da recorrência não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
x_{n}=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}=\frac{1}{2}+A\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right)+B\sin\!\left(\frac{\pi n}{2}\right),
com A,B\in\mathbb{R} constantes arbitrárias a serem determinadas por condições iniciais, se houver.

Passo 5

Se forem fornecidos x_{0} e x_{1}, podemos obter A e B explicitamente. Avaliando a solução geral em n=0 e n=1:
x_{0}=\frac{1}{2}+A\cos(0)+B\sin(0)=\frac{1}{2}+A,
x_{1}=\frac{1}{2}+A\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+B\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}+B.
Daí
A=x_{0}-\frac{1}{2},\qquad B=x_{1}-\frac{1}{2}.
Substituindo de volta obtemos a forma conveniente com condições iniciais:
x_{n}=\frac{1}{2}+\left(x_{0}-\frac{1}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right)+\left(x_{1}-\frac{1}{2}\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}{2}\right).

Resposta

x_{n}=\frac{1}{2}+A\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right)+B\sin\!\left(\frac{\pi n}{2}\right),\quad A,B\in\mathbb{R}
x_{n}=\frac{1}{2}+\left(x_{0}-\frac{1}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right)+\left(x_{1}-\frac{1}{2}\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}{2}\right)

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