Determine a solução geral das equações de recorrência:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da sequência
que satisfaz a recorrência
para todo
(recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes).
Informações dadas: a relação entre três termos consecutivos da sequência é exatamente a equação acima. Não foram fornecidas condições iniciais (portanto queremos a solução geral, com constantes arbitrárias).
Informações dadas: a relação entre três termos consecutivos da sequência é exatamente a equação acima. Não foram fornecidas condições iniciais (portanto queremos a solução geral, com constantes arbitrárias).
Passo 2
Ideia do método (sem avançar ainda nas contas): para recorrências lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito útil tentar soluções da forma
, porque potências resolvem bem essas relações lineares. Vou explicar passo a passo por que isso funciona e como extrair a equação que determina
.
Passo 3
Teste da forma
. Substituindo
na recorrência obtemos
Colocando
em evidência (e lembrando que, para uma solução não-trivial, não queremos a sequência identicamente nula) temos
Como
não é zero para todas as
quando
, o fator que impõe a condição é o polinômio
que chamamos de equação característica da recorrência. Explico: cada raiz
dessa equação nos dá uma solução da forma
.
Passo 4
Resolver a equação característica. Vamos fatorar o polinômio quadrático:
Logo as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, sabemos (teorema padrão para esse tipo de recorrência) que as funções
e
são soluções linearmente independentes. Por isso a solução geral da recorrência é dada por combinação linear dessas duas soluções independentes:
onde
e
são constantes (dependendo das condições iniciais).
Passo 5
Breve justificativa de independência (intuição): se existisse relação linear não-trivial
para todos
, dividir por
daria
para todos
. Como
varia com
, a única possibilidade é
. Portanto as duas soluções são independentes e geram o espaço de todas as soluções (o espaço de soluções tem dimensão igual à ordem da recorrência, que é 2).
Passo 6
Como usar condições iniciais (caso sejam dadas): se você souber
e
, resolve o sistema linear para
e
. Substituindo
e
na fórmula geral obtemos
Para resolver, por exemplo, subtraindo
vezes a primeira da segunda, temos
e então
Ou seja, com
e
conhecidos obtemos explicitamente
e
.
Passo 7
Resumo e verificação simples: a expressão
satisfaz a recorrência porque ao substituir dá
que se reorganiza em termos de
e
usando
e
. Portanto é válida.