Determine a solução geral das equações de recorrência:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da sequência x_n que satisfaz a recorrência
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_n=0
para todo n (recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes).
Informações dadas: a relação entre três termos consecutivos da sequência é exatamente a equação acima. Não foram fornecidas condições iniciais (portanto queremos a solução geral, com constantes arbitrárias).

Passo 2

Ideia do método (sem avançar ainda nas contas): para recorrências lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito útil tentar soluções da forma x_n=r^n, porque potências resolvem bem essas relações lineares. Vou explicar passo a passo por que isso funciona e como extrair a equação que determina r.

Passo 3

Teste da forma x_n=r^n. Substituindo x_n=r^n na recorrência obtemos
r^{n+2}-5r^{n+1}+6r^n=0.
Colocando r^n em evidência (e lembrando que, para uma solução não-trivial, não queremos a sequência identicamente nula) temos
r^n\bigl(r^2-5r+6\bigr)=0.
Como r^n não é zero para todas as n quando r\neq0, o fator que impõe a condição é o polinômio
r^2-5r+6=0,
que chamamos de equação característica da recorrência. Explico: cada raiz r dessa equação nos dá uma solução da forma r^n.

Passo 4

Resolver a equação característica. Vamos fatorar o polinômio quadrático:
r^2-5r+6=(r-2)(r-3).
Logo as raízes são \;r=2\; e \;r=3\;. Como são duas raízes reais distintas, sabemos (teorema padrão para esse tipo de recorrência) que as funções 2^n e 3^n são soluções linearmente independentes. Por isso a solução geral da recorrência é dada por combinação linear dessas duas soluções independentes:
x_n = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n,
onde A e B são constantes (dependendo das condições iniciais).

Passo 5

Breve justificativa de independência (intuição): se existisse relação linear não-trivial \alpha 2^n+\beta 3^n=0 para todos n, dividir por 2^n daria \alpha +\beta(3/2)^n=0 para todos n. Como (3/2)^n varia com n, a única possibilidade é \alpha=\beta=0. Portanto as duas soluções são independentes e geram o espaço de todas as soluções (o espaço de soluções tem dimensão igual à ordem da recorrência, que é 2).

Passo 6

Como usar condições iniciais (caso sejam dadas): se você souber x_0 e x_1, resolve o sistema linear para A e B. Substituindo n=0 e n=1 na fórmula geral obtemos
x_0 = A+B,
x_1 = 2A+3B.
Para resolver, por exemplo, subtraindo 2 vezes a primeira da segunda, temos
x_1-2x_0 = B,
e então
A = x_0 - B = x_0 - (x_1-2x_0)=3x_0-x_1.
Ou seja, com x_0 e x_1 conhecidos obtemos explicitamente A e B.

Passo 7

Resumo e verificação simples: a expressão x_n = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n satisfaz a recorrência porque ao substituir dá
(A2^{n+2}+B3^{n+2})-5(A2^{n+1}+B3^{n+1})+6(A2^n+B3^n)=0
que se reorganiza em termos de 2^n e 3^n usando 2^2-5\cdot2+6=0 e 3^2-5\cdot3+6=0. Portanto é válida.

Resposta

x_n = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n

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