Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2 y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Esboçar a região de integração no plano xy.
  • Calcular a integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas no enunciado:
  • A variável externa x varia em [-1,1].
  • Para cada x, a variável interna y varia de y=-1 até y=|x| (observe que o limite superior depende de |x|).
  • A função a integrar é x^{2}-2y^{2}.

Passo 2

Esboço da região de integração (como desenhar passo a passo):
  • A curva y=|x| é um “V” com vértice em (0,0), formada pelas retas y=x para x\ge0 e y=-x para x\le0. Em x=\pm1 temos y=1.
  • A reta horizontal inferior é y=-1.
  • A região pedida é o conjunto de pontos (x,y) tais que -1\le x\le1 e -1\le y\le |x|. Portanto é a faixa vertical entre x=-1 e x=1, limitada abaixo por y=-1 e acima pelo “V” y=|x|. Tem simetria em relação ao eixo y.
  • Pontos notáveis para marcar no esboço: (-1,-1), (1,-1), (-1,1), (1,1), e o vértice (0,0). Ligue (-1,1) ao (0,0) por y=-x e (0,0) a (1,1) por y=x, e desenhe a linha y=-1.

Passo 3

Descrição alternativa da região útil para raciocinar:
  • A desigualdade que define o teto é y\le |x|.
  • Para y negativo (isto é, y\in[-1,0]) a condição y\le|x| é sempre verdadeira, porque |x|\ge0\ge y. Logo, para y\in[-1,0] temos x\in[-1,1].
  • Para y não negativo (isto é, y\in[0,1]) a condição y\le|x| equivale a |x|\ge y, ou seja, x\in[-1,-y]\cup[y,1].
  • Essa partição é útil caso queiramos trocar a ordem de integração; aqui usaremos a ordem dada (integramos primeiro em y), mas é importante entender a geometria.

Passo 4

Integramos primeiro em y. Vamos calcular a integral interna
\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy.
Explicação das etapas: integrar em y significa tratar x como constante. Para integrar polinômios conheça estas regras rápidas:
  • \displaystyle\int a\,dy = a\,y se a é constante em relação a y.
  • \displaystyle\int y^{2}\,dy = \frac{1}{3}y^{3}.
Aplicando:
\begin{aligned} \int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy &= x^{2}\bigl[y\bigr]_{y=-1}^{y=|x|} -2\left[\frac{1}{3}y^{3}\right]_{y=-1}^{y=|x|}\\[4pt] &= x^{2}\bigl(|x|-(-1)\bigr) - \frac{2}{3}\bigl(|x|^{3}-(-1)^{3}\bigr). \end{aligned}
Agora simplificamos as expressões: |x|-(-1)=|x|+1 e (-1)^{3}=-1, portanto
\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy = x^{2}(|x|+1) - \frac{2}{3}\bigl(|x|^{3}+1\bigr).]

Passo 5

Agora temos reduzida a integral dupla para uma integral em x:
\int_{-1}^{1}\left[x^{2}(|x|+1) - \frac{2}{3}\bigl(|x|^{3}+1\bigr)\right]dx.
Observação sobre simetria (muito útil para economizar cálculo):
  • Função par (ou seja, mesmo): uma função g(x) é par se g(-x)=g(x). Para integrais simétricas sobre [-a,a], se g é par então \int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g(x)\,dx.
  • Aqui todas as partes dependem de |x| ou de x^{2}, ou são constantes; isso torna todo o integrando uma função par. Logo podemos escrever
\int_{-1}^{1}\left[\cdots\right]dx = 2\int_{0}^{1}\left[\cdots\right]dx.

Passo 6

Para x\in[0,1] temos |x|=x. Substituímos e simplificamos o integrando:
x^{2}(x+1) - \frac{2}{3}(x^{3}+1) = x^{3}+x^{2} - \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}.
Agrupando os termos em x^{3} obtemos
x^{3}\Bigl(1-\frac{2}{3}\Bigr) + x^{2} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - \frac{2}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy\,dx = 2\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - \frac{2}{3}\right)dx.

Passo 7

Integramos termo a termo (regra básica: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1):
\begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^{3}\,dx &= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}x^{4}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{12},\\[4pt] \int_{0}^{1} x^{2}\,dx &= \frac{1}{3}x^{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3},\\[4pt] \int_{0}^{1} \left(-\frac{2}{3}\right)dx &= -\frac{2}{3}\,x\Big|_{0}^{1} = -\frac{2}{3}. \end{aligned}
Somando esses resultados:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - \frac{2}{3}\right)dx = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}.
Calcule passo a passo os somatórios em frações com denominador comum 12:
\frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} - \frac{8}{12} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}.]

Passo 8

Multiplicando por 2 (pela simetria), obtemos o valor final da integral dupla:
2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)= -\frac{1}{2}.

Resposta

-\frac{1}{2}

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