Para cada x, a variável interna y varia de y=-1 até y=|x| (observe que o limite superior depende de |x|).
A função a integrar é x^{2}-2y^{2}.
Passo 2
Esboço da região de integração (como desenhar passo a passo):
A curva y=|x| é um “V” com vértice em (0,0), formada pelas retas y=x para x\ge0 e y=-x para x\le0. Em x=\pm1 temos y=1.
A reta horizontal inferior é y=-1.
A região pedida é o conjunto de pontos (x,y) tais que -1\le x\le1 e -1\le y\le |x|. Portanto é a faixa vertical entre x=-1 e x=1, limitada abaixo por y=-1 e acima pelo “V” y=|x|. Tem simetria em relação ao eixo y.
Pontos notáveis para marcar no esboço: (-1,-1), (1,-1), (-1,1), (1,1), e o vértice (0,0). Ligue (-1,1) ao (0,0) por y=-x e (0,0) a (1,1) por y=x, e desenhe a linha y=-1.
Passo 3
Descrição alternativa da região útil para raciocinar:
A desigualdade que define o teto é y\le |x|.
Para y negativo (isto é, y\in[-1,0]) a condição y\le|x| é sempre verdadeira, porque |x|\ge0\ge y. Logo, para y\in[-1,0] temos x\in[-1,1].
Para y não negativo (isto é, y\in[0,1]) a condição y\le|x| equivale a |x|\ge y, ou seja, x\in[-1,-y]\cup[y,1].
Essa partição é útil caso queiramos trocar a ordem de integração; aqui usaremos a ordem dada (integramos primeiro em y), mas é importante entender a geometria.
Passo 4
Integramos primeiro em y. Vamos calcular a integral interna
\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy.
Explicação das etapas: integrar em y significa tratar x como constante. Para integrar polinômios conheça estas regras rápidas:
\displaystyle\int a\,dy = a\,y se a é constante em relação a y.
Observação sobre simetria (muito útil para economizar cálculo):
Função par (ou seja, mesmo): uma função g(x) é par se g(-x)=g(x). Para integrais simétricas sobre [-a,a], se g é par então \int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g(x)\,dx.
Aqui todas as partes dependem de |x| ou de x^{2}, ou são constantes; isso torna todo o integrando uma função par. Logo podemos escrever