Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A variável externa é
com . - Para cada
fixo, a variável interna é com . - O integrando é o valor absoluto
, que muda de expressão quando .
Nenhuma outra informação é pedida além de esboçar a região no planoe calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Esboço e partição da região segundo o sinal de
.
- A região de integração é o retângulo cujos vértices são
(pois e ). - A curva onde o integrando muda de sinal é a reta dada por
, isto é . - Observe que, para
, a reta vai do ponto até dentro do retângulo. - Para pontos à esquerda dessa reta, isto é quando
, temos e . - Para pontos à direita da reta, isto é quando
, temos e .
Portanto, para cadafixo em devemos quebrar a integração em nos intervalos (onde a expressão é negativa) e (onde é positiva).
Passo 3
Escrever a integral como soma de duas integrais sem valor absoluto, usando a partição do passo anterior:
Isto é direto da definição
aplicada a
.
Passo 4
Calcular as primitivas em
. Para integrar polinômios em
lembramos das fórmulas básicas:
-
, -
(tratando como constante quando integramos em ).
Logo uma antiderivada deem relação a é .
Uma antiderivada deé .
Passo 5
Calcular a primeira integral interna (onde
):
Avaliaremos o termo entre colchetes:
- Em
: - Em
:
Logo
Passo 6
Calcular a segunda integral interna (onde
):
Avaliaremos:
- Em
: - Em
: já calculado:
Logo
Passo 7
Somar as duas partes internas para obter o integrando em
:
Somando termo a termo:
-
, -
, -
.
Portanto a soma simplifica-se para
Passo 8
Agora integramos em
no intervalo
:
Pronto — chegamos ao valor final da integral dupla.