Esboçar a região de integração e calcular a integral iterada seguinte:
\int_{0}^{1} \int_{-1}^{1}|x+y| d x d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}|x+y|\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável externa é y com 0\le y\le1.
  • Para cada y fixo, a variável interna é x com -1\le x\le1.
  • O integrando é o valor absoluto |x+y|, que muda de expressão quando x+y=0.
    Nenhuma outra informação é pedida além de esboçar a região no plano xy e calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Esboço e partição da região segundo o sinal de x+y.
  • A região de integração é o retângulo cujos vértices são \,(-1,0)\,,\,(1,0)\,,\,(-1,1)\,,\,(1,1)\, (pois x\in[-1,1] e y\in[0,1]).
  • A curva onde o integrando muda de sinal é a reta dada por x+y=0, isto é x=-y.
  • Observe que, para y\in[0,1], a reta x=-y vai do ponto (0,0) até (-1,1) dentro do retângulo.
  • Para pontos à esquerda dessa reta, isto é quando x<-y, temos x+y<0 e |x+y|=-(x+y).
  • Para pontos à direita da reta, isto é quando x>-y, temos x+y>0 e |x+y|=x+y.
    Portanto, para cada y fixo em [0,1] devemos quebrar a integração em x nos intervalos [-1,-y] (onde a expressão é negativa) e [-y,1] (onde é positiva).

Passo 3

Escrever a integral como soma de duas integrais sem valor absoluto, usando a partição do passo anterior:
\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}|x+y|\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{-1}^{-y}-(x+y)\,dx+\int_{-y}^{1}(x+y)\,dx\right)dy.
Isto é direto da definição |u| = \begin{cases} -u,&u<0\\\ u,&u\ge0\end{cases} aplicada a u=x+y.

Passo 4

Calcular as primitivas em x. Para integrar polinômios em x lembramos das fórmulas básicas:
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
  • \displaystyle \int y\,dx = yx (tratando y como constante quando integramos em x).
    Logo uma antiderivada de x+y em relação a x é \displaystyle \frac{x^{2}}{2}+yx.
    Uma antiderivada de -(x+y) é -\left(\frac{x^{2}}{2}+yx\right).

Passo 5

Calcular a primeira integral interna (onde x+y<0):
I_{1}(y)=\int_{-1}^{-y}-(x+y)\,dx = -\Big[\frac{x^{2}}{2}+yx\Big]_{x=-1}^{x=-y}.
Avaliaremos o termo entre colchetes:
  • Em x=-y: \displaystyle \frac{(-y)^{2}}{2}+y(-y)=\frac{y^{2}}{2}-y^{2}=-\frac{y^{2}}{2}.
  • Em x=-1: \displaystyle \frac{(-1)^{2}}{2}+y(-1)=\frac{1}{2}-y.
    Logo
I_{1}(y)=-\Big(-\frac{y^{2}}{2}-\Big(\frac{1}{2}-y\Big)\Big) =-\Big(-\frac{y^{2}}{2}-\frac{1}{2}+y\Big) =\frac{y^{2}}{2}+\frac{1}{2}-y.

Passo 6

Calcular a segunda integral interna (onde x+y\ge0):
I_{2}(y)=\int_{-y}^{1}(x+y)\,dx = \Big[\frac{x^{2}}{2}+yx\Big]_{x=-y}^{x=1}.
Avaliaremos:
  • Em x=1: \displaystyle \frac{1^{2}}{2}+y\cdot1=\frac{1}{2}+y.
  • Em x=-y: já calculado: -\frac{y^{2}}{2}.
    Logo
I_{2}(y)=\left(\frac{1}{2}+y\right)-\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}+y+\frac{y^{2}}{2}.

Passo 7

Somar as duas partes internas para obter o integrando em y:
I_{1}(y)+I_{2}(y)=\Big(\frac{y^{2}}{2}+\frac{1}{2}-y\Big)+\Big(\frac{1}{2}+y+\frac{y^{2}}{2}\Big).
Somando termo a termo:
  • \frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}=y^{2},
  • \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,
  • -y+y=0.
    Portanto a soma simplifica-se para
I_{1}(y)+I_{2}(y)=y^{2}+1.

Passo 8

Agora integramos em y no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\big(y^{2}+1\big)\,dy = \Big[\frac{y^{3}}{3}+y\Big]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{3}}{3}+1\right)-\left(0+0\right) =\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}.
Pronto — chegamos ao valor final da integral dupla.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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