Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{9} e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem
y''-2y'+y=x^{9}e^{x}\cos x.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação linear com coeficientes constantes.
  • O membro direito é x^{9}e^{x}\cos x, ou seja, um polinômio de grau 9 multiplicado por e^{x}\cos x.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x) que contém a solução complementar (homogênea) e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a solução homogênea. A homogênea associada é
y''-2y'+y=0.
Assumimos uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo,
(r-1)^{2}=0,
ou seja, r=1 é raiz dupla. Para uma raiz dupla r=1, a solução geral da homogênea é
y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} para
y''-2y'+y=x^{9}e^{x}\cos x.
Uma ideia muito útil (e que simplifica muito as contas) é fazer a substituição
y=e^{x}z(x).
Vou mostrar por que isso ajuda: calculemos y' e y'' em termos de z:
y'=e^{x}z+e^{x}z'=e^{x}(z+z'),
y''=e^{x}(z+z')'+e^{x}(z+z')=e^{x}(z+2z'+z'').
Substituindo em y''-2y'+y:
y''-2y'+y=e^{x}\bigl(z+2z'+z''-2(z+z')+z\bigr).
Agrupando os termos em z,z',z'' aparece uma enorme simplificação:
z+2z'+z''-2z-2z'+z=z'',
logo
y''-2y'+y=e^{x}z''.
Como o lado direito da EDO original é x^{9}e^{x}\cos x, dividindo pelos e^{x} (que nunca é zero) obtemos a EDO muito mais simples para z:
z''=x^{9}\cos x.
Portanto basta resolver essa EDO de segunda ordem para z e depois voltar para y=e^{x}z.

Passo 4

Integramos z''=x^{9}\cos x duas vezes. Primeiro uma primitiva:
z'(x)=\int x^{9}\cos x\,dx + C_{1}.
Definimos a notação
I_{n}(x):=\int x^{n}\cos x\,dx, \qquad J_{n}(x):=\int x^{n}\sin x\,dx.
Usando integração por partes obtemos as recorrências úteis
I_{n}=x^{n}\sin x+n x^{n-1}\cos x - n(n-1)I_{n-2},
J_{n}=-x^{n}\cos x + n I_{n-1}.
Começamos calculando os I_{k} necessários até k=9 por redução. Vou listar os resultados (cada linha vem de aplicar a recorrência iterativamente):
I_{0}=\sin x,
I_{1}=x\sin x+\cos x,
I_{2}=(x^{2}-2)\sin x + 2x\cos x,
I_{3}=(x^{3}-6x)\sin x + (3x^{2}-6)\cos x,
I_{4}=(x^{4}-12x^{2}+24)\sin x + (4x^{3}-24x)\cos x,
I_{5}=(x^{5}-20x^{3}+120x)\sin x + (5x^{4}-60x^{2}+120)\cos x,
I_{6}=(x^{6}-30x^{4}+360x^{2}-720)\sin x + (6x^{5}-120x^{3}+720x)\cos x,
I_{7}=(x^{7}-42x^{5}+840x^{3}-5040x)\sin x + (7x^{6}-210x^{4}+5040x^{2}-5040)\cos x,
I_{8}=(x^{8}-56x^{6}+1680x^{4}-20160x^{2}+40320)\sin x
\qquad\qquad\qquad\qquad +\,(8x^{7}-336x^{5}+6720x^{3}-40320x)\cos x,
I_{9}=(x^{9}-72x^{7}+3024x^{5}-60480x^{3}+362880x)\sin x
\qquad\qquad\qquad\qquad +\,(9x^{8}-504x^{6}+15120x^{4}-362880x^{2}+362880)\cos x.
Assim temos
z'(x)=I_{9}(x)+C_{1}.

Passo 5

Agora integramos novamente para obter z(x):
z(x)=\int I_{9}(x)\,dx + C_{1}x + C_{2}.
Para calcular \int I_{9} decomponha I_{9} em somas de termos do tipo x^{m}\sin x e x^{m}\cos x e use as fórmulas J_{m}=-x^{m}\cos x + m I_{m-1} e I_{m} já calculados. Fazendo esse procedimento de forma sistemática (é uma soma de termos com potências ímpares/pares que se combinam), obtemos, após simplificação algébrica, que uma primitiva de I_{9} é
\begin{aligned} \int I_{9}\,dx &=\bigl(18x^{8}-2016x^{6}+90720x^{4}-1632960x^{2}+3991680\bigr)\sin x\\\ &\quad +\bigl(-x^{9}+216x^{7}-15120x^{5}+423360x^{3}-3628800x\bigr)\cos x. \end{aligned}
Portanto uma escolha para z(x) (solução geral de z''=x^{9}\cos x) é
\begin{aligned} z(x)&=\bigl(18x^{8}-2016x^{6}+90720x^{4}-1632960x^{2}+3991680\bigr)\sin x\\\ &\quad +\bigl(-x^{9}+216x^{7}-15120x^{5}+423360x^{3}-3628800x\bigr)\cos x\\\ &\quad +C_{1}x+C_{2}. \end{aligned}
(Obs.: os termos com C_{1},C_{2} correspondem às integrais indefinidas; esses serão responsáveis pela parte homogênea de y depois da substituição.)

Passo 6

Voltando à variável y usando y=e^{x}z, a solução geral da equação original é
\begin{aligned} y(x)&=e^{x}\Bigl\{\bigl(18x^{8}-2016x^{6}+90720x^{4}-1632960x^{2}+3991680\bigr)\sin x\\\ &\qquad\;+\bigl(-x^{9}+216x^{7}-15120x^{5}+423360x^{3}-3628800x\bigr)\cos x\\\ &\qquad\;+C_{1}x+C_{2}\Bigr\}. \end{aligned}
Note que os termos com C_{1},C_{2} reproduzem exatamente a solução homogênea (C_{2}+C_{1}x)e^{x} encontrada no Passo 2.

Resposta

y(x)=e{x}\Bigl{\bigl(18x{8}-2016x{6}+90720x{4}-1632960x^{2}+3991680\bigr)\sin x\
\qquad+\bigl(-x{9}+216x{7}-15120x{5}+423360x{3}-3628800x\bigr)\cos x\
\qquad+C_{1}x+C_{2}\Bigr}

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