Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem
Informações relevantes dadas:
- É uma equação linear com coeficientes constantes.
- O membro direito é
, ou seja, um polinômio de grau 9 multiplicado por . - Precisamos encontrar a solução geral
que contém a solução complementar (homogênea) e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a solução homogênea. A homogênea associada é
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Resolvendo,
ou seja,
é raiz dupla. Para uma raiz dupla
, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para
Uma ideia muito útil (e que simplifica muito as contas) é fazer a substituição
Vou mostrar por que isso ajuda: calculemos
e
em termos de
:
Substituindo em
:
Agrupando os termos em
aparece uma enorme simplificação:
logo
Como o lado direito da EDO original é
, dividindo pelos
(que nunca é zero) obtemos a EDO muito mais simples para
:
Portanto basta resolver essa EDO de segunda ordem para
e depois voltar para
.
Passo 4
Integramos
duas vezes. Primeiro uma primitiva:
Definimos a notação
Usando integração por partes obtemos as recorrências úteis
Começamos calculando os
necessários até
por redução. Vou listar os resultados (cada linha vem de aplicar a recorrência iterativamente):
Assim temos
Passo 5
Agora integramos novamente para obter
:
Para calcular
decomponha
em somas de termos do tipo
e
e use as fórmulas
e
já calculados. Fazendo esse procedimento de forma sistemática (é uma soma de termos com potências ímpares/pares que se combinam), obtemos, após simplificação algébrica, que uma primitiva de
é
Portanto uma escolha para
(solução geral de
) é
(Obs.: os termos com
correspondem às integrais indefinidas; esses serão responsáveis pela parte homogênea de
depois da substituição.)
Passo 6
Voltando à variável
usando
, a solução geral da equação original é
Note que os termos com
reproduzem exatamente a solução homogênea
encontrada no Passo 2.
Resposta
y(x)=e{x}\Bigl{\bigl(18x{8}-2016x{6}+90720x{4}-1632960x^{2}+3991680\bigr)\sin x\
\qquad+\bigl(-x{9}+216x{7}-15120x{5}+423360x{3}-3628800x\bigr)\cos x\
\qquad+C_{1}x+C_{2}\Bigr}
\qquad+\bigl(-x{9}+216x{7}-15120x{5}+423360x{3}-3628800x\bigr)\cos x\
\qquad+C_{1}x+C_{2}\Bigr}