Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
, em torno de
Passo 1
O enunciado pede resolver em torno de
a EDO
usando série de potências.
Vamos assumir
Vamos assumir
calcular
, substituir na EDO e obter uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Da hipótese
vem
Assim
Somando
e igualando a zero, agrupamos potências de
.
Passo 3
Para
, o coeficiente de
dá
Nos casos iniciais
e
obtemos
o que bate com a fórmula geral para
.
Passo 4
A recorrência separa-se em dois ramos:
-
(coeficientes pares). Da fórmula
Com
livre, vem
Logo a solução “par” é um polinômio de grau 2:
-
(coeficientes ímpares). Da fórmula
Com
livre, gera-se série infinita. Para
(termo
) obtemos em forma fechada usando duplo fatorial:
onde
e
.
Assim a solução “ímpar” é
Assim a solução “ímpar” é
Passo 5
O raio de convergência da série é determinado pelo ponto singular mais próximo de
, que ocorre em
.
Portanto a solução geral é
Portanto a solução geral é
válida para
.