Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}+3 e^{x}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O problema de valor inicial dado é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Buscamos y satisfazendo
y'' + 4y = x^2 + 3e^x
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2. A estratégia será: determinar a solução geral homogênea, encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados e, por fim, usar as condições iniciais para fixar as constantes.

Passo 2

A equação homogênea associada é y_h'' + 4y_h = 0. O polinômio característico é
r^2 + 4 = 0
cuja raízes são r = \pm 2i. Logo, a solução geral homogênea é
y_h = A\cos2x + B\sin2x.

Passo 3

Para a parte não homogênea x^2 + 3e^x, buscamos uma solução particular da forma
y_p = ax^2 + bx + c + de^x.
Calculando derivadas:
y_p' = 2ax + b + de^x,
y_p'' = 2a + de^x.
Substituindo em y_p'' + 4y_p = x^2 + 3e^x resulta em
(2a + de^x) + 4\bigl(ax^2 + bx + c + de^x\bigr) = x^2 + 3e^x.
Agrupando termos:
4a x^2 + 4b x + (2a+4c) + 5d\,e^x = x^2 + 3e^x.
Igualando coeficientes do polinômio e da exponencial obtemos o sistema
4a = 1,\quad 4b = 0,\quad 2a+4c=0,\quad 5d=3.
Daí
a=\tfrac14,\quad b=0,\quad c=-\tfrac18,\quad d=\tfrac35.
Portanto,
y_p = \tfrac14 x^2 - \tfrac18 + \tfrac35 e^x.

Passo 4

A solução geral é
y = y_h + y_p = A\cos2x + B\sin2x + \tfrac14 x^2 - \tfrac18 + \tfrac35 e^x.
Calculamos y':
y' = -2A\sin2x + 2B\cos2x + \tfrac12 x + \tfrac35 e^x.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=2 resulta em
y(0)=A - \tfrac18 + \tfrac35 = 0,\quad y'(0)=2B + \tfrac35 = 2.
Dessa forma,
A = -\tfrac{19}{40},\quad B = \tfrac{7}{10}.

Resposta

y(x) = -\tfrac{19}{40}\cos2x + \tfrac{7}{10}\sin2x + \tfrac14 x^2 - \tfrac18 + \tfrac35 e^x.

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