Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
y^{\prime \prime}+4 y=-2, y\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{2}, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{8}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+4y=-2,\quad y\!\Bigl(\frac\pi8\Bigr)=\frac12,\quad y'\!\Bigl(\frac\pi8\Bigr)=2.
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
y''+4y=0.
A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm2i. Logo a solução homogênea é
y_h(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x).

Passo 3

Para encontrar uma solução particular de
y''+4y=-2
tentamos y_p=A constante. Substituindo dá 0+4A=-2, de onde
A=-\frac12.
Assim
y_p(x)=-\tfrac12.

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\tfrac12.

Passo 5

Calculamos a derivada:
y'(x)=-2C_1\sin(2x)+2C_2\cos(2x).

Passo 6

Aplicando as condições iniciais em x=\frac\pi8:
y\!\Bigl(\tfrac\pi8\Bigr)=C_1\cos\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr)+C_2\sin\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr)-\tfrac12=\tfrac12,
y'\!\Bigl(\tfrac\pi8\Bigr)=-2C_1\sin\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr)+2C_2\cos\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=2.
Como \cos\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2}, obtemos o sistema
(C_1+C_2)\frac{\sqrt2}{2}-\frac12=\frac12, \quad (-2C_1+2C_2)\frac{\sqrt2}{2}=2.

Passo 7

Resolvendo:
(C_1+C_2)\frac{\sqrt2}{2}=1\implies C_1+C_2=\sqrt2,
(-2C_1+2C_2)\frac{\sqrt2}{2}=2\implies C_2-C_1=\sqrt2.
Daí C_1=0 e C_2=\sqrt2.

Resposta

\boxed{y(x)=\sqrt2\,\sin(2x)\;-\;\tfrac12.}

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