Considere a função
f(x)=3 xx^2-2 x-3
(0,5) Determine o domínio da função f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{3x}{x^{2} - 2x - 3} $ e precisa descobrir qual é o domínio dela. Isso significa encontrar todos os valores de $ x $ que a função pode assumir sem causar problemas, tipo dividir por zero. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, como essa que a gente tem, o principal cuidado é evitar que o denominador seja igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Então, nossa função é $ f(x) = \frac{3x}{x^{2} - 2x - 3} $. O denominador dessa fração é $ x^{2} - 2x - 3 $. Para garantir que não estamos dividindo por zero, precisamos encontrar os valores de $ x $ que fazem o denominador ser zero e, assim, excluí-los do domínio.

Passo 4

Vamos resolver a equação $ x^{2} - 2x - 3 = 0 $ para encontrar esses valores problemáticos. Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 2x - 3 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -3 $.

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
x = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Isso nos dá duas soluções:
x = 2 + 42 = 3 e x = 2 - 42 = -1

Passo 6

Então, os valores $ x = 3 $ e $ x = -1 $ fazem o denominador ser zero. Isso significa que a função $ f(x) $ não está definida nesses pontos. Portanto, excluímos esses valores do domínio.

Resposta

O domínio da função $ f $ é todos os números reais exceto $ x = -1 $ e $ x = 3 $. Em notação de intervalo:
f

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