Considere a função
Determine o domínio da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{3x}{x^{2} - 2x - 3} $ e precisa descobrir qual é o domínio dela. Isso significa encontrar todos os valores de $ x $ que a função pode assumir sem causar problemas, tipo dividir por zero. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, como essa que a gente tem, o principal cuidado é evitar que o denominador seja igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Então, nossa função é $ f(x) = \frac{3x}{x^{2} - 2x - 3} $. O denominador dessa fração é $ x^{2} - 2x - 3 $. Para garantir que não estamos dividindo por zero, precisamos encontrar os valores de $ x $ que fazem o denominador ser zero e, assim, excluí-los do domínio.
Passo 4
Vamos resolver a equação $ x^{2} - 2x - 3 = 0 $ para encontrar esses valores problemáticos. Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = -3 $.
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Então, os valores $ x = 3 $ e $ x = -1 $ fazem o denominador ser zero. Isso significa que a função $ f(x) $ não está definida nesses pontos. Portanto, excluímos esses valores do domínio.
Resposta
O domínio da função $ f $ é todos os números reais exceto $ x = -1 $ e $ x = 3 $. Em notação de intervalo: