Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial y^prime+y=x^2
Escolha uma opção:
y=C e^-4 x+16 e^-2 x
y=C e^3 x-110(3 sen x+cos x)
y=C e^-2 x+13 e^x
y=C e^-x+x^2-2 x+2
y=C e^2 x+e^-x(x^34-3 x^24+3 x4-38)
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente encontrar uma solução geral para a equação diferencial $ y’ + y = x^{2} $. Isso está no tópico de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão $ y’ + P(x)y = Q(x) $. Aqui, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = x^{2} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^x y' + e^x y = e^x x^2
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{x} y $, então podemos escrever:
e^x y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Para resolver a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes repetidamente. O resultado dessa integração é:
e^x y = integral e^x x^2 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C e^-x + x^2 - 2x + 2
Portanto, a opção correta é:
y = C e^-x + x^2 - 2x + 2

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