Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente encontrar uma solução geral para a equação diferencial $ y’ + y = x^{2} $. Isso está no tópico de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão $ y’ + P(x)y = Q(x) $. Aqui, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = x^{2} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{x} y $, então podemos escrever:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Para resolver a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes repetidamente. O resultado dessa integração é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Portanto, a opção correta é: