Encontre a série de Taylor da função
ao redor do ponto
. Justifique suas respostas. Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe. Abra seu coração ワDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = e^{2x} $ em torno do ponto $ x = 1 $. Séries de Taylor são uma forma de aproximar funções usando polinômios, e para isso, precisamos usar derivadas da função no ponto dado. Então, vamos precisar saber como calcular derivadas e montar a série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ x = a $:
Aqui, $ f^{(n)}(a) $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ a $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
No nosso caso, $ f(x) = e^{2x} $ e $ a = 1 $. Vamos calcular as derivadas necessárias:
- $ f(x) = e^{2x} $
- $ f’(x) = 2e^{2x} $
- $ f’’(x) = 4e^{2x} $
- $ f’’’(x) = 8e^{2x} $
- E assim por diante, cada derivada multiplica por 2.
Geralmente, a $ n $-ésima derivada de $ f(x) = e^{2x} $ é $ f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x} $.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ x = 1 $:
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da série de Taylor:
Podemos simplificar tirando o $ e^{2} $ fora da soma:
Passo 6
Esta série $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2(x - 1))^n}{n!} $ é a expansão de $ e^{2(x-1)} $. Então, a série de Taylor fica:
Isso confirma que a série de Taylor que encontramos realmente representa a função original.
Resposta
A série de Taylor da função $ f(x) = e^{2x} $ em torno de $ x = 1 $ é: