Encontre a série de Taylor da função f(x)=e^2 x ao redor do ponto x=1. Justifique suas respostas. Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe. Abra seu coração ワDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = e^{2x} $ em torno do ponto $ x = 1 $. Séries de Taylor são uma forma de aproximar funções usando polinômios, e para isso, precisamos usar derivadas da função no ponto dado. Então, vamos precisar saber como calcular derivadas e montar a série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ x = a $:
f(x)
Aqui, $ f^{(n)}(a) $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ a $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

No nosso caso, $ f(x) = e^{2x} $ e $ a = 1 $. Vamos calcular as derivadas necessárias:
  • $ f(x) = e^{2x} $
  • $ f’(x) = 2e^{2x} $
  • $ f’’(x) = 4e^{2x} $
  • $ f’’’(x) = 8e^{2x} $
  • E assim por diante, cada derivada multiplica por 2.
Geralmente, a $ n $-ésima derivada de $ f(x) = e^{2x} $ é $ f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x} $.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ x = 1 $:
x = 1

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da série de Taylor:
f(x) = sumn=0^infty 2^n e^2n! (x - 1)^n
Podemos simplificar tirando o $ e^{2} $ fora da soma:
e^2

Passo 6

Esta série $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2(x - 1))^n}{n!} $ é a expansão de $ e^{2(x-1)} $. Então, a série de Taylor fica:
sumn=0^infty (2(x - 1))^nn!
Isso confirma que a série de Taylor que encontramos realmente representa a função original.

Resposta

A série de Taylor da função $ f(x) = e^{2x} $ em torno de $ x = 1 $ é:
f(x) = e^2x

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