Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial y^prime=x cdot e^y1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ y’ = \frac{x \cdot e{y}}{1+x{2}} $. Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ e integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é uma equação separável: é aquela onde podemos escrever a equação de modo que todas as $ y $ fiquem de um lado e todas as $ x $ fiquem do outro lado. Vamos começar rearranjando a equação:
y
Podemos reescrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $:
x
Agora, vamos separar as variáveis. Dividimos ambos os lados por $ e^{y} $ e multiplicamos por $ dx $:
y' = x cdot e^y1+x^2

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar funções cuja derivada nos dê o que temos nas integrais.
Vamos começar com a parte da esquerda:
integral 1e^y , dy
Sabendo que $ \frac{1}{e^{y}} = e^{-y} $, a integral fica:
1e^y = e^-y
Agora, a parte da direita:
integral e^-y , dy = -e^-y + C1
Fazendo uma substituição simples, deixamos $ u = 1 + x^{2} $, então $ du = 2x , dx $ ou $ \frac{du}{2} = x , dx $:
integral x1+x^2 , dx

Passo 4

Agora, juntamos as integrais que obtivemos:
-e^-y + C1 = 12 ln|1+x^2| + C2
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
C1

Passo 5

Vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
y
Podemos reescrever $ -C $ como uma nova constante $ C’ $:
e^-y = -12 ln(1+x^2) - C
Agora, aplicamos o logaritmo natural para isolar $ y $:
-C
Multiplicando por -1:
C'
Podemos simplificar a constante novamente, renomeando $ -\frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) + C’ $ como uma nova constante $ K $:
e^-y = -12 ln(1+x^2) + C'
Mas para manter a generalidade, deixamos a constante como está:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = -ln( 12 ln(1 + x^2) + C )
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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