Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ y’ = \frac{x \cdot e{y}}{1+x{2}} $. Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ e integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é uma equação separável: é aquela onde podemos escrever a equação de modo que todas as $ y $ fiquem de um lado e todas as $ x $ fiquem do outro lado. Vamos começar rearranjando a equação:
Podemos reescrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $:
Agora, vamos separar as variáveis. Dividimos ambos os lados por $ e^{y} $ e multiplicamos por $ dx $:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar funções cuja derivada nos dê o que temos nas integrais.
Vamos começar com a parte da esquerda:
Sabendo que $ \frac{1}{e^{y}} = e^{-y} $, a integral fica:
Agora, a parte da direita:
Fazendo uma substituição simples, deixamos $ u = 1 + x^{2} $, então $ du = 2x , dx $ ou $ \frac{du}{2} = x , dx $:
Passo 4
Agora, juntamos as integrais que obtivemos:
Podemos combinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $:
Passo 5
Vamos resolver para $ y $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever $ -C $ como uma nova constante $ C’ $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para isolar $ y $:
Multiplicando por -1:
Podemos simplificar a constante novamente, renomeando $ -\frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) + C’ $ como uma nova constante $ K $:
Mas para manter a generalidade, deixamos a constante como está:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C $ é uma constante arbitrária.