Analise as seguintes Questão. Considere a função f(x)=x|x|. Decida se f é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, calcule f^prime(0). Justifique suas afirmações.
f^prime(0)=h^prime(0) g(0)+h(0) g^prime(0)
como g(0)=0 e h(0)=0 então f^prime(0)=0.
Resp.: somente a solução 4 está correta.

Passo 1

A gente tem o enunciado: determinar se a função f(x)=x|x| é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, achar f'(0). O assunto é derivabilidade em um ponto, que vamos testar usando a definição de derivada a partir do limite do quociente de diferença.

Passo 2

Como aparece valor absoluto, escrevemos f em duas partes. Para x>=0:
f(x)=x|x|=xcdot x=x^2
Para x<0:
f(x)=x|x|=xcdot(-x)=-x^2

Passo 3

Agora aplicamos a definição de derivada em 0:
Para h>0:
f(0+h)-f(0)h= h^2-0h=h
e o limite limhto0^+h=0.
Para h<0:
f(0+h)-f(0)h=-h^2-0h=-h
e o limite limhto0^-(-h)=0.

Passo 4

Como as derivadas laterais coincidem em 0 e valem 0, concluímos que f é derivável em 0 e f'(0)=0. O argumento que tentou usar a regra do produto com g(x)=x e h(x)=|x| falha porque |x| não é derivável em 0, então não se pode aplicar a regra do produto ali. Desta forma, entre as quatro soluções apresentadas, apenas a solução 4 está correta.

Resposta

A função é derivável em x=0 e f'(0)=0. Portanto, somente a solução 4 está correta.

Exercícios relacionados