Sendo f(x)=a x^3+b x^2+c x+dx^2+x-2, obter os reais a, b, c, d, sabendo-se que lim x +infty f(x)=1 e lim x 1 f(x)=0. (R: a=0, b=1, c=-2 e d=1 )

Passo 1

A questão dá uma função racional f(x)=a x^3+b x^2+c x+dx^2+x-2 e pede os valores de a,b,c,d sabendo que limxto+inftyf(x)=1 e limxto1f(x)=0. Vamos usar teoria de limites de funções racionais (assíntota horizontal) e análise de descontinuidade removível.

Passo 2

Para xto+infty, o comportamento de f(x) é dado pelos termos de maior grau. Como o denominador é de grau 2, para o limite ser finito precisamos que o numerador tenha grau ≤ 2, ou seja a=0. Com isso o numerador vira b x^2+cx+d e o limite passa a ser limxto+inftyf(x)=b1=1, o que dá b=1.

Passo 3

O polinômio do denominador fatora como
x^2+x-2=(x-1)(x+2)

Passo 4

Como limxto1f(x)=0 e o denominador zera em x=1, para não ter infinito precisamos que o numerador também zere em x=1. Assim
1+c+d=0

Passo 5

Além disso, como x=1 é raiz do numerador x^2+cx+d, podemos escrever
x^2+cx+d=(x-1)(x+alpha)
que ao expandir dá c=alpha-1 e d=-alpha. Então, após cancelar (x-1),
f(x)=x+alphax+2

Passo 6

Finalmente, impondo limxto1f(x)=0 obtemos
limxto1x+alphax+2=1+alpha3=0impliesalpha=-1
Substituindo em c=alpha-1 e d=-alpha resulta c=-2 e d=1.

Resposta

a=0, b=1, c=-2 e d=1

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