Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
\frac{dy}{dx} - y = \cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx} - y = \cos x.
  • A incógnita é a função y(x).
  • A tarefa: determinar a solução geral y(x).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Comparando com a equação dada, tem-se
P(x) = -1,\qquad Q(x)=\cos x.
Explicando a ideia que vamos usar: multiplicamos a equação por um fator integrante \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Esse \mu(x) é escolhido porque, em geral, se \mu=e^{\int P} então
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y,
ou seja, o lado esquerdo da equação multiplicada por \mu fica exato.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{-x} obtém-se
e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=e^{-x}\cos x.
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}\cos x.
Agora integramos ambos os lados em relação a x.

Passo 4

Integrando,
e^{-x}y=\int e^{-x}\cos x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Portanto precisamos calcular a integral
I=\int e^{-x}\cos x\,dx.

Passo 5

Calcular I por integração por partes (duas vezes). Tomar
I=\int e^{-x}\cos x\,dx.
Fazendo integração por partes com u=\cos x e dv=e^{-x}dx (logo du=-\sin x\,dx e v=-e^{-x}):
I = -e^{-x}\cos x - \int (-e^{-x})(- \sin x)\,dx = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\sin x\,dx.
Chamando
J=\int e^{-x}\sin x\,dx,
temos
I = -e^{-x}\cos x - J.
Agora calcular J por partes com u=\sin x, dv=e^{-x}dx (logo du=\cos x\,dx, v=-e^{-x}):
J = -e^{-x}\sin x - \int (-e^{-x})\cos x\,dx = -e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\cos x\,dx.
Note que \int e^{-x}\cos x\,dx = I. Assim
J = -e^{-x}\sin x + I.
Substituindo J em I = -e^{-x}\cos x - J obtemos
I = -e^{-x}\cos x - \big(-e^{-x}\sin x + I\big) = -e^{-x}\cos x + e^{-x}\sin x - I.
Passando o I do lado direito para o esquerdo:
2I = e^{-x}(\sin x - \cos x).
Portanto
I = \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x) + \text{const}.
Como já temos uma constante de integração geral na etapa anterior, podemos tomar a antiderivada particular
\int e^{-x}\cos x\,dx = \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x)
e deixar a constante geral C na etapa seguinte.

Passo 6

Voltando para a expressão obtida em

Passo 7

e^{-x}y = \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x) + C.
Multiplicando por e^{x} para isolar y,
y(x)=\frac{1}{2}\big(\sin x - \cos x\big) + C e^{x},
onde C é uma constante arbitrária. Explicação final: a solução geral é a soma da solução geral da homogênea \dfrac{dy}{dx}-y=0, que é y_h=C e^{x}, com uma solução particular y_p=\dfrac{1}{2}(\sin x-\cos x). Assim obtemos a solução geral acima.

Passo 8

Verificação rápida (para dar confiança): calcular \dfrac{dy}{dx} a partir da solução encontrada e verificar que \dfrac{dy}{dx}-y=\cos x.
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(\cos x + \sin x) + C e^{x}.
Então
\frac{dy}{dx}-y=\frac{1}{2}(\cos x + \sin x) + C e^{x} -\frac{1}{2}(\sin x - \cos x) - C e^{x}=\cos x,
confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}\big(\sin x - \cos x\big) + C e^{x}

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