Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. Informações fornecidas:
- A equação diferencial é
. - A incógnita é a função
. - A tarefa: determinar a solução geral
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
Comparando com a equação dada, tem-se
Explicando a ideia que vamos usar: multiplicamos a equação por um fator integrante
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. O fator integrante é
Esse
é escolhido porque, em geral, se
então
ou seja, o lado esquerdo da equação multiplicada por
fica exato.
Passo 3
Multiplicando a equação original por
obtém-se
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada do produto:
Agora integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 4
Integrando,
onde
é a constante de integração. Portanto precisamos calcular a integral
Passo 5
Calcular
por integração por partes (duas vezes). Tomar
Fazendo integração por partes com
e
(logo
e
):
Chamando
temos
Agora calcular
por partes com
,
(logo
,
):
Note que
. Assim
Substituindo
em
obtemos
Passando o
do lado direito para o esquerdo:
Portanto
Como já temos uma constante de integração geral na etapa anterior, podemos tomar a antiderivada particular
e deixar a constante geral
na etapa seguinte.
Passo 6
Voltando para a expressão obtida em
Passo 7
Multiplicando por
para isolar
,
onde
é uma constante arbitrária. Explicação final: a solução geral é a soma da solução geral da homogênea
, que é
, com uma solução particular
. Assim obtemos a solução geral acima.
Passo 8
Verificação rápida (para dar confiança): calcular
a partir da solução encontrada e verificar que
.
Então
confirmando que a solução está correta.