Determine f'(x):
f(x) = \sqrt{x} - 6e^x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de uma função. As informações dadas (peguei a expressão da função do enunciado e da imagem) são:
  • Função: f(x)=\sqrt{x}-6e^{x}.
    A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em função de x. Não são fornecidas outras restrições; implicitamente o domínio natural da parte \sqrt{x} é x\ge 0.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (aqui explico cada uma devagarinho):
  • Regra da soma/diferença: a derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x). Isso vale ponto a ponto.
  • Regra do fator constante: se há uma constante multiplicando uma função, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot u'(x). Por exemplo, \dfrac{d}{dx}(3\sin x)=3\cos x.
  • Regra da potência (power rule): para uma potência x^{n} com n real, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Isso é prático porque permite derivar raízes ao reescrever como potência fracionária.
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Essa é especial e muito conveniente: a derivada de e^{x} é ela mesma.
Vou aplicar essas regras passo a passo à nossa função.

Passo 3

Tratar a primeira parcela \sqrt{x}. Primeiro reescrevemos a raiz como potência:
\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}.
Agora aplicamos a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}x^{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}x^{\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}.
Reescrevendo em forma de raiz obtém-se a forma mais familiar:
\tfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Tratar a segunda parcela -6e^{x}. Aqui usamos a regra do fator constante e a derivada da exponencial. Primeiro a derivada de e^{x} é e^{x}. Multiplicando pelo constante -6 temos:
\frac{d}{dx}\big(-6e^{x}\big)=-6\cdot\frac{d}{dx}e^{x}=-6e^{x}.

Passo 5

Agora juntamos as derivadas usando a regra da soma/diferença (na prática, somamos a derivada da primeira parcela com a da segunda, lembrando o sinal):
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-6e^{x}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-6e^{x}

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