Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
\frac{dy}{dx} + y = \sin 2x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e pede a solução geral. Peguei a equação também da imagem enviada. Informações dadas:
  • A equação diferencial é \frac{dy}{dx} + y = \sin 2x.
  • O objetivo é determinar a solução geral y(x).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx} + 1\cdot y = \sin 2x.
Aqui o coeficiente de y é a função p(x)=1. Para resolver equações lineares de primeira ordem usa-se o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Vou explicar o que isso faz: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo numa derivada total do produto \mu(x)y, o que facilita a integração.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 1\,dx\Big)=\exp(x)=e^{x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{dy}{dx} + e^{x}y = e^{x}\sin 2x.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}y, pois
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\sin 2x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{x}y=\int e^{x}\sin 2x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora é preciso calcular a integral \displaystyle \int e^{x}\sin 2x\,dx. Vou calculá-la passo a passo por partes.

Passo 6

Defina
I=\int e^{x}\sin 2x\,dx.
Use integração por partes escolhendo u=\sin 2x e dv=e^{x}dx. Então du=2\cos 2x\,dx e v=e^{x}. Aplicando partes:
I=e^{x}\sin 2x - \int e^{x}\cdot 2\cos 2x\,dx = e^{x}\sin 2x - 2\int e^{x}\cos 2x\,dx.
Chame a nova integral de
J=\int e^{x}\cos 2x\,dx.
Agora calcule J por partes: escolha u=\cos 2x, dv=e^{x}dx. Então du=-2\sin 2x\,dx, v=e^{x}. Assim
J=e^{x}\cos 2x - \int e^{x}(-2\sin 2x)\,dx = e^{x}\cos 2x + 2\int e^{x}\sin 2x\,dx = e^{x}\cos 2x + 2I.

Passo 7

Volte à expressão de I:
I = e^{x}\sin 2x - 2J = e^{x}\sin 2x - 2\big(e^{x}\cos 2x + 2I\big).
Desenvolvendo:
I = e^{x}\sin 2x - 2e^{x}\cos 2x - 4I.
Somando 4I em ambos os lados:
5I = e^{x}\big(\sin 2x - 2\cos 2x\big).
Logo
I=\int e^{x}\sin 2x\,dx = \frac{1}{5}e^{x}\big(\sin 2x - 2\cos 2x\big) + C_1,
onde C_1 é constante de integração (que será absorvida na constante geral).

Passo 8

Substituindo I em e^{x}y=\int e^{x}\sin 2x\,dx + C:
e^{x}y = \frac{1}{5}e^{x}\big(\sin 2x - 2\cos 2x\big) + C.
Dividindo por e^{x}:
y = \frac{1}{5}\big(\sin 2x - 2\cos 2x\big) + Ce^{-x},
onde C é a constante arbitrária final (absorveu C e C_1).

Resposta

y(x)=\frac{1}{5}\big(\sin 2x - 2\cos 2x\big) + C e^{-x}

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