Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e pede a solução geral. Peguei a equação também da imagem enviada. Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - O objetivo é determinar a solução geral
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui o coeficiente de
é a função
. Para resolver equações lineares de primeira ordem usa-se o fator integrante
, definido por
Vou explicar o que isso faz: multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo numa derivada total do produto
, o que facilita a integração.
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Passo 4
Multiplicar a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora é preciso calcular a integral
. Vou calculá-la passo a passo por partes.
Passo 6
Defina
Use integração por partes escolhendo
e
. Então
e
. Aplicando partes:
Chame a nova integral de
Agora calcule
por partes: escolha
,
. Então
,
. Assim
Passo 7
Volte à expressão de
:
Desenvolvendo:
Somando
em ambos os lados:
Logo
onde
é constante de integração (que será absorvida na constante geral).
Passo 8
Substituindo
em
:
Dividindo por
:
onde
é a constante arbitrária final (absorveu
e
).